Paulijeva jednadžba

Kvantna fizika

Uvod u kvantnu mehaniku Matematička formulacija kvantne mehanike Fundamentalni koncepti Komplementarnost · Dekoherencija · Sprezanje · Interferencija · Energetska razina · Nelokalnost · Kvantni broj · Stanje · Superpozicija · Simetrija · Tuneliranje · Neodređenost · Isključenje · Teorija transformacije · Valna funkcija (kolaps) · Ehrenfestov teorem · Mjerenje Eksperimenti Afsharov · Bellova nejednakost · Davisson–Germer · Dvostruka pukotina · Elitzur–Vaidman · EPR paradoks · Franck–Hertz · Mach–Zehnder · Popperov · Kvantni brisač (odgođeni izbor) · Schrödingerova mačka · Stern–Gerlach eksperiment · Wheelerov odgođeni izbor Jednadžbe Schrödingerova jednadžba · Paulijeva jednadžba · Klein-Gordonova jednadžba · Diracova jednadžba Napredne teorije Kvantna teorija polja · Kvantna elektrodinamika · Kvantna kromodinamika · Kvantna gravitacija · Feynmanov dijagram Interpretacije Kopenhagenska · Kvantna logika · Skrivene varijable · Transakcijska · Mnogo-svjetova · Ansambl · Konzistentne povijesti · Relacijska · Svijest uzrokuje kolaps · Spontana lokalizacija Znanstvenici Planck · Schrödinger · Heisenberg · Bohr · Pauli · Dirac · Bohm · Born · de Broglie · von Neumann · Einstein · Feynman · Everett · Drugi

Paulijeva jednadžba ili, kako je još zovu, Schrödinger-Paulijeva jednadžba je oblik Schrödingerove jednadžbe za čestice s polucijelobrojnim spinom koja u sebi sadrži utjecaj interakcije spina čestice s elektromagnetskim poljem. Ona je nerelativistički granični slučaj Diracove jednadžbe i može se koristiti tamo gdje su čestice dovoljno spore da se relativističku učinak može zanemariti.

Jednadžbu je formulirao austrijski Nobelobac Wolfgang Pauli.

Detalji

Paulijeva jednadžba glasi:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left[ \frac{1}{2m}(\vec{\sigma}\cdot(\vec{p} - q \vec{A}))^2 + q \phi \right] |\psi\rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle }

Gdje je:

• Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m \ \ } masa čestice.
• Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q \ \ } naboj čestice.
• Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{\sigma} \ \ } trostavačni vektor 2 x 2 Paulijevih matrica. Ovo znači da je svaki stavak vektora Paulijeva matrica.
• Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{p} \ \ } trostavačni vektor operatora količine gibanja. Stavke ovog vektora su Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle - i \hbar \frac{\partial}{\partial x_n} }
• Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{A} \ \ } trostavačni vektor magnetskog potencijala.
• Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi \ \ } skalar električnog potencijala.
• Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\psi\rangle \ \ } dvostavačna valna funkcija koja se može napisati i kao Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{pmatrix} \psi_0 \\ \psi_1 \end{pmatrix} } .

Paulijeva se jednadžba eksplicitnije može zapisati i ovako:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left[ \frac{1}{2m} \left( \sum_{n=1}^3 (\sigma_n ( - i \hbar \frac{\partial}{\partial x_n} - q A_n)) \right) ^2 + q \phi \right] \begin{pmatrix} \psi_0 \\ \psi_1 \end{pmatrix} = i \hbar \begin{pmatrix} \frac{ \partial \psi_0 }{\partial t} \\ \frac{ \partial \psi_1 }{\partial t} \end{pmatrix} }

Treba uzeti u obzir da je Hamiltonov operator (izraz unutar uglatih zagrada) zapravo 2 x 2 matrični operator, a sve to zbog Paulijevih σ matrica.

Veze sa Schrödingerovom i Diracovom jednadžbom

Iako je Paulijeva jednadžba nerelativistička, ona predviđa spin. Kao takva, može se smatrati srednjim stadijem u "razvoju kvantnofizikalnih jednadžbi":

• Jednostavna Schrödingerova jednadžba (za kompleksnu skalarnu valnu funkciju), koja je nerelativistička i ne predviđa spin.
• Diracova jednadžba (za kompleksni četverostavačni spinor), koja je u potpunosti relativistička i predviđa spin.

No, zbog svojstava Paulijevih matrica, ako je magnetski vektorski potencijal Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{A} } jednak 0, onda Paulijeva jednadžba postaje jednostavna Schrödingerova za česticu koja ima samo električni potencijal φ, no razlika je ta što kod Paulija ona radi na dvostavačnom spinoru. Iz toga se izvlači zaključak da spin čestice utječe na njezino gibanje jedino ako je u blizini magnetskog polja.

Posebni slučajevi

Oba stavka spinora zadovoljavaju Schrödingerovu jednadžbu. To znači da je sustav degenerirao na dodatni stupanj slobode.

S vanjskim elektromagnetskim poljem, potpuna Paulijeva jednadžba glasi:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \underbrace{i \hbar \partial_t \vec \varphi_\pm = \left( \frac{(\underline{\vec p}-q \vec A)^2}{2 m} + q \phi \right) \hat 1 \vec \varphi_\pm}_\mathrm{Schr\ddot{o}dingerova~jednadzba} - \underbrace{\frac{q \hbar}{2m}\vec{\hat \sigma} \cdot \vec B \vec \varphi_\pm}_\text{Stern Gerlachov izraz}} .

Gdje je/su:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi } skalar električnog potencijala.

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A } vektor elektromagnetskog potencijala

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec \varphi_\pm} , u Diracovom zapisu Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\psi\rangle :=\begin{pmatrix} |\varphi_+\rangle \\ |\varphi_-\rangle \end{pmatrix}} Paulijevi stavci spinora

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{\hat \sigma}} Paulijeve matrice

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec B } vanjsko magnetsko polje

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat 1 } dvodimenzionalna matrica identiteta

Schrödingerova derivacija Paulijeve jednadžbe

Započevši sa Diracovom jednadžbom za slabe elektromagnetske interakcije:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i \hbar \partial_t \left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1\\\vec \varphi_2\end{array} \right) = c \left( \begin{array}{c} \vec{\hat \sigma} \vec \pi \vec \varphi_2\\\vec{\hat \sigma} \vec \pi \vec \varphi_1\end{array} \right)+q \phi \left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1\\\vec \varphi_2\end{array} \right) + mc^2 \left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1 \\-\vec \varphi_2\end{array} \right) }

sa Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec \pi = \vec p - q \vec A }

Koristeći sljedeće aproksimacije:

• Pojednostavljenje jednadžbe pomoću sljedećeg izraza:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1 \\ \vec \varphi_2 \end{array} \right) = e^{-i \frac{mc^2t}{\hbar}} \left( \begin{array}{c} \vec{\tilde \varphi_1} \\ \vec{\tilde \varphi_2} \end{array} \right) }

• Eliminirajući ostatak preko izraza za sporu vremensku ovisnost:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \partial_t \vec \varphi_i \ll \frac{mc^2}{\hbar} \vec \varphi_i}

• Slabo sparivanje električnog potencijala:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q \phi \ll mc^2 }