Nejednadžba
Nejednadžba je matematički izraz koji povezuje poznate i nepoznate veličine s pomoću nekog od znakova nejednakosti.
Znak nejednakosti prvi je počeo koristiti engleski matematičar Thomas Harriot (1560. – 2. srpnja 1621.).
Nejednadžba simbolom za uređaj > ili < iskazuje da lijeva strana nejednadžbe mora biti veća ili manja od desne strane nejednadžbe. Pri rješavanju nejednadžbe traži se interval skupa svih vrijednosti x koji udovoljavaju nejednadžbi. Nejednadžba može biti izražena i sa Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \le } ili Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ge } .
Zamjenom znaka „=“ znakom „>“ pretvara se jednadžba
- Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle 2x-4=6\,}
u nejednadžbu
- Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle 2x-4>6\,} .
Za razliku od rješenja jednadžbe, x = 5, rješenje nejednadžbe će očito biti
- Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x>5\,} ,
Skup vrijednosti x koji udovoljava nejednadžbi sadržavati će sve realne brojeve od 5 do Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle +\infty } gdje sam broj 5 nije uključen u rješenje nejednadžbe. Da je nejednadžba bila zadana kao
tada bi skup vrijednosti x koji udovoljava nejednadžbi uključivao i broj 5.
Pravila rješavanja nejednadžbi
Pravila koje se odnose na postupak rješavanja jednadžbi, vrijede s nekim ograničenjima i za rješavanje nejednadžbi:
1/ U postupku rješavanja nejednadžbe, lijevoj i desnoj strani nejednadžbe smije se dodati i oduzeti isti broj.
2/ U postupku rješavanja nejednadžbe, lijeva i desna strana nejednadžbe smiju se pomnožiti ili podijeliti s istim brojem (različitim od nule).
3/ U postupku rješavanja nejednadžbe veličine i nepoznate veličine smiju se premiještati s jedne strane nejednadžbe na drugu uz promjenu predznaka
te nešto specifično za nejednadžbu
4/ Množenjem cijele nejednadžbe s -1, svi članovi nejednadžbe mijenjaju predznak uz istovremenu promjenu znaka nejednakosti “<” u “>”, odn. “>” u “<”. Primjer:
- Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle -x+3<2x+15\,}
- Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle -x-2x<15-3\,}
- Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle -3x<12/(-1)\,}
- Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle 3x>-12\,}
- Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x>-4\,}
Sustav nejednadžbi s jednom nepoznanicom
Sustav od više nejednadžbi postavit će, u pravilu, više različitih uvjeta za skup vrijednosti x rješenja nejednadžbi. Rješenje sustava nejednadžbi s jednom nepoznanicom bit će skup svih realnih brojeva x koji istovremeno zadovoljavaju sve nejednadžbe. Primjer:
- Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle -x-1<2\,}
- Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x-1>1\,}
Za sustav od tri nejednadžbe s jednom nepoznanicom traži se skup takvih vrijednosti x rješenja nejednadžbi koji će udovoljavati svakoj od datih nejednadžbi, gdje je:
rješenje prve nejednadžbe: x > -6, odn. interval Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \left\langle -6,+\infty \right\rangle } ,
rješenje druge nejednadžbe: x > -3, odn. interval Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\langle-3, +\infty \right\rangle } ,
rješenje treće nejednadžbe: x > 2, odn. interval Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\langle2, +\infty \right\rangle } .
Rješenje sustava nejednadžbi je, dakle, x > 2 jer interval vrijednosti x Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\langle2, +\infty \right\rangle } udovoljava za sve tri postavljene nejednadžbe.
Nejednadžbe složenijih oblika
Nejednadžba kao produkt binomnih članova
Nejednadžbe mogu biti zadane u obliku produkta dva (ili više) binomnih članova. U tom slučaju svaki od članova postavlja neke određene uvjete kojima mora udovoljiti skup vrijednost x rješenja nejednadžbi. Primjer:
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x+1)(x-3)>0 \,}
Nejednadžba uvjetuje da lijeva strana bude veća od 0, što je ispunjeno u dva različita slučaja:
a)Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x+1)> 0 \,} i Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x-3)> 0 \,}
b)Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x+1)< 0 \,} i Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x-3)< 0 \,} .
Oba slučaja mogu se shvatiti kao sustavi nejednadžbi s jednom nepoznanicom i rješavati odvojeno. Skup vrijednosti rješenja nejednadžbi mora udovoljavati kako slijedi:
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a) x > -1 \,} i Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x > 3 \,}
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b) x < -1 \,} i Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x < 3 \,} .
Kako bi skup rješenja x nejednadžbe udovoljavao uvjetu pod a) mora biti da je x > 3, a kako bi u drugom slučaju udovoljavao uvjetu pod b) mora biti da je x < -1. Skup vrijednosti x rješenja nejednadžbi očito će biti unija skupova iz intervala realnih brojeva Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\langle -\infty, -1\right\rangle }
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\langle 3, +\infty \right\rangle } .
Nejednadžba kao kvocijent binomnih članova
Nejednadžba može biti zadana i kao kvocijent dva binomnih članova, gdje se u rješavanju razmišlja na ekvivalentan način kao u prethodnom primjeru. Primjer:
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{x^2+2}{x+2} \ge 0}
Nejednadžba uvjetuje da lijeva strana bude veća ili jednaka nuli, no kako je (x2 + 2) za realne x uvijek pozitivan broj, mora i djelitelj (x + 2) biti pozitivan kako bi razlomak bio veći od nule. To je ispunjeno za x> -2. Skup vrijednosti rješenja x nejednadžbe bit će interval realnih brojeva Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\langle -2, +\infty \right\rangle } .
Nejednadžba kao produkt i kvocijent binomnih članova
Nejednadžba može biti zadana i kao složeni izraz koji uključuje više binomnih članova u još složenijem odnosu. Primjer:
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{(1+x)(2-x)}{(2+x)(3-x)} > 0 }
Izraz koji čini lijeva strana nejednadžbe možemo shvatiti i kao funkciju
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = \frac{(1+x)(2-x)}{(2+x)(3-x)} } .
Iz izraza koji opisuje funkciju vidljivo je da će funkcija imati nultočke u točkama: x = -1 i x = 2, a polove u točkama x = -2 i x = 3. Razvivši, nadalje, oba binomna umnoška, funkciju možemo prikazati u obliku
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = \frac{-x^2+x+2}{-x^2+x+6} }
Kako je limes funkcije pozitivan kada x teži u Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\infty} i kada teži u Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle +\infty} , funkcija će za dovoljno mali i za dovoljno veliki x biti očito pozitivna s odgovarajućom promjenom predznaka u polovima i nul točkama. Skicirajući tijek funkcije kako x poprima vrijednosti od Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\infty} prema Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle +\infty} ,može se ustanoviti da će funkcija imati redom:
a)pozitivnu vrijednost u intervalu x od x = Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\infty} do prvog pola u x = -2,
b)negativnu vrijednost od prvog pola x = -2 do prve nultočke x = -1,
c)pozitivnu vrijednost od prve nultočke x = -1 do druge nultočke x = 2,
d)negativnu vrijednost od druge nultočke x = 2 do drugog pola u x = 3 te opet
e)pozitivnu vrijednost od x = 3 do x = Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle +\infty} .
Skup rješenja x nejednadžbe očito je iz unija intervala Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\langle -\infty, -2 \right\rangle \cup } Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\langle -1,2 \right\rangle \cup } Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\langle 3, +\infty\right\rangle }
Ekvivalentna analiza može se provesti i za bilo koji složeniji oblik nejednadžbe prikazan na odgovarajući način.
Vidi
Literatura
- Kurnik M., Pavković B., Zorić Ž., "Matematika 1", Školska knjiga, Zagreb, 2006.