Cassinijev identitet

Cassinijev identitet je jednakost u elementarnoj teoriji brojeva koja povezuje uzastopnu trojku Fibonaccijevog niza.

Identitet je 1680. otkrio poznati talijanski matematičar Giovanni Domenico Cassini (1635. – 1712.), a dokazao ga je škotski matematičar Robert Simson (1687. – 1768.) i to 1753. godine.

Podsjetimo se da Fibonaccijev niz glasi 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... U tom je nizu svaki član, počevši od trećeg, suma svoja dva neposredna prethodnika. Dakle, vrijedi $F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1},n\geq 2.$

Cassinijev identitet tvrdi:

$F_{n+1}F_{n-1}=F_{n}F_{n}+(-1)^{n},n\geq 2.$

Ono što se uočava prvo je da vrijedi $F_{n+1}>F_{n},F_{n-1}<F_{n}$ pa vidimo da Cassinijev identitet opisuje svojevrsnu "ravnotežu" među ova dva umnoška. Ipak, nije odmah očito da se $F_{n+1}F_{n-1},F_{n}F_{n}$ razlikuju točno za 1 pa ćemo ovaj teorem ispod i dokazati.

Dokaz

Ovaj se identitet lako može dokazati metodom matematičke indukcije pa ćemo to na ovom mjestu i učiniti.

Vidimo da, u ovisnosti o parnosti broja $n$, izraz $(-1)^{n}$ u formuli redom varira: $-1,+1,-1,+1,...$

Provjerimo sada identitet za prvu trojku $(1,1,2).$ Zaista, vrijedi $2\cdot 1=1\cdot 1+1.$ Prema tome, $F_{n+1}F_{n-1}=F_{n}F_{n}-1$ (1) vrijedi za barem jedan broj, $n=2.$

Sada prijeđimo na iduću trojku te konstruirajmo dva umnoška, $p_{1}=F_{n+2}F_{n+1}$ te $p_{2}=F_{n+1}F_{n+1}+1,$ dokazat ćemo da su jednaka.

Slijedi niz jednostavnih jednakosti (transformacija): $p_{1}=(F_{n}+F_{n+1})F_{n}=F_{n}F_{n}+F_{n}F_{n+1}.$ Sada koristimo (1): $p_{1}=F_{n+1}F_{n-1}-1+F_{n}F_{n+1}$ i konačno dobivamo $p_{1}=F_{n+1}(F_{n-1}+F_{n})-1,$ odnosno $p_{1}=F_{n+1}F_{n+1}-1$ što upravo daje $p_{2}.$

Za sada smo dokazali Cassinijev identitet polovično, a barem za dvije trojke: $(1,1,2)$ te $(1,2,3).$ Dakle, nije očito da iz $-1$ u $+1$ opet ciklički slijedi $-1.$ Ako to dokažemo, postupak će se ciklički ponavljati i bit ćemo gotovi.

Zato uzmimo iduću trojku $(F_{n+3},F_{n+1},F_{n}).$ Slično kao i prije, konstruirajmo dva umnoška $q_{1}=F_{n+3}F_{n+1},q_{2}=F_{n+2}F_{n+2}+1.$ Opet, slijedi niz jednakosti: $q_{1}=(F_{n+1}+F_{n+2})F_{n+1}=F_{n+1}F_{n+1}+F_{n+1}F_{n+2}.$ Sada dobivamo $q_{2}=F_{n+2}F_{n}+1+F_{n+1}F_{n+2}$ pa je konačno $q_{1}=F_{n+2}(F_{n}+F_{n+1})=q_{2},$ što je i trebalo pokazati.