Modul (algebra)

Modul nad prstenom je poopćenje vektorskog prostora nad poljem s istim aksiomima, osim što je polje skalara zamijenjeno prstenom s jedinicom.

Neka je R prsten s jedinicom $1_{R}$. Lijevi modul nad R (sinonim: lijevi R-modul) je Abelova grupa $M=(M,+,0)$ zajedno s funkcijom $\nu :R\times M\to M$ takvom da za sve $r,s\in R,m,m'\in M$ vrijedi

(i) $\nu (r,\nu (s,m))=\nu (r\cdot s,m)$ (aksiom lijevog djelovanja)
(ii) $\nu (r+s,m)=\nu (r,m)+\nu (s,m)$ (aditivnost u R) 
(iii) $\nu (r,m+m')=\nu (r,m)+\nu (r,m')$ (aditivnost u M)
(iv) $\nu (1_{R},m)=m$ (unitalnost djelovanja)

Funkciju $\nu$ zovemo djelovanjem R-modula $(M,\nu )$.

Često djelovanje označavamo sintaktički kao dvovrsnu binarnu operaciju, tj. njenu oznaku pišemo između argumenata. Ako je djelovanje dakle $\triangleright :R\times M\to M$, u toj sintaksi su gornji aksiomi

(i) $r\triangleright (s\triangleright m)=(r\cdot s)\triangleright m$ (aksiom lijevog djelovanja)
(ii) $(r+s)\triangleright m=r\triangleright m+s\triangleright m$ (aditivnost u R) 
(iii) $r\triangleright (m+m')=r\triangleright m+r\triangleright m'$ (aditivnost u M)
(iv) $1_{R}\triangleright m=m$ (unitalnost djelovanja)