Minimalni polinom

U različitim područjima matematike, minimalni polinom objekta a je u određenom smislu normirani polinom p najmanjeg mogućeg stupnja takav da je p(a) = 0. Posebno je značajan pojam minimalnog polinoma u linearnoj algebri i teoriji polja.

Linearna algebra

U linearnoj algebri, minimalni polinom kvadratne matrice A je monični polinom p najmanjeg mogućeg stupnja takav da je

p(A) = 0.

Svaka matrica A ima jednoznačno određen minimalni polinom; on se najčešće označuje sa μ_A. Minimalni polinom matrice dijeli svaki od polinoma koji je poništavaju, tako da se može odrediti i kao njihov najveći zajednički djelitelj, odnosno kao monični generator glavnog ideala

{ p ∈K[X] : p(A) = 0 } = (μ_A)

u prstenu polinoma K[X].

Slične matrice imaju jednake minimalne polinome. Minimalni polinom linearnog operatora L je minimalni polinom bilo koje od njegovih matrica (koje su sve međusobno slične). Istovremeno, to je i monični polinom p najmanjeg stupnja takav da je p(L) = 0.

Minimalni i karakteristični polinom matrice imaju jednake skupove nula, moguće različitih kratnosti. Drugi način da se iskaže ovo svojstvo je relacija

μ_A | φ_A | μ_Aⁿ.

Relacija μ_A | φ_A je posljedica Cayley-Hamiltonovog teorema, prema kojem je φ_A(A) = 0. Na osnovu ovog svojstva, minimalni polinom matrice se u praksi najčešće nalazi tako što se prvo izračuna i na čimbenike razloži njen karakteristični polinom, a zatim se minimalni polinom traži među njegovim djeliteljima sa istim skupom nula. Minimalni polinom kvadratne matrice reda n je stupnja najviše n.

Minimalni polinom, svojstvene vrijednosti i kanonski oblici matrice

Nule karakterističnog, pa dakle i minimalnog, polinoma matrice su njene svojstvene vrijednosti. Posebice, ako n × n matrica ima n različitih svojstvenih vrijednosti λ₁, λ₂, ..., λ_n, tada se njen minimalni i karakteristični polinom podudaraju i oba su jednaka

(X − λ₁)⋅(X − λ₂) … (X − λ_n).

Općenito, svaka matrica ima Jordanov normalni oblik, jednoznačno određen do na redoslijed blokova, po nekoliko njih za svaku svojstvenu vrijednost matrice, i koja joj je slična, te tako ima isti minimalni i karakteristični polinom. Ako matrica A ima svojstvene vrijednosti λ₁, λ₂, …, λ_k sa algebarskim kratnostima r₁, r₂, …, r_k (tako da je r₁ + r₂ + ... + r_k = n), i ako su, za svako 1 ≤ i ≤ k, ν₁(i) ≤ ν₂(i) ≤ …, ≤ ν_si(i) dimenzije Jordanovih blokova koji odgovaraju svojstvenoj vrijednosti λ_i (tako da je ν₁(i) + ν₂(i) + ... + ν_si(i) = r_i), tada je

$\phi _{A}=(X-\lambda _{1})^{r_{1}}(X-\lambda _{2})^{r_{2}}\cdots (X-\lambda _{k})^{r_{k}}$, $\mu _{A}=(X-\lambda _{1})^{\nu _{s_{1}}(1)}(X-\lambda _{2})^{\nu _{s_{2}}(2)}\cdots (X-\lambda _{k})^{\nu _{s_{k}}(k)}$.

Posebno se minimalni i karakteristični polinom matrice podudaraju ako i samo ako svakoj njenoj svojstvenoj vrijednosti odgovara po točno jedan Jordanov blok, odnosno ako i samo ako su geometrijske kratnosti svih svojstvenih vrijednosti (za svojstvenu vrijednost λ_i to je s_i, broj odgovarajućih Jordanovih blokova) jednake 1.

Matrica je dijagonalizabilna nad nekim poljem F ako i samo ako je njen minimalni polinom umnožak različitih linearnih faktora nad F.

Matrice kod kojih se minimalni i karakteristični polinom podudaraju se pogodno karakteriziraju upravo kao matrice koje su slične nekoj cikličkoj matrici; linearni operatori koji odgovaraju takvim matricama se i sami nazivaju cikličkim operatorima. Općenito, ako su A₁, A₂, ...., A_l kanonski ciklički blokovi matrice A i φ₁ | φ₂ | ... | φ_l njihovi karakteristični (i istovremeno minimalni) polinomi, tzv. invarijantni djelitelji matrice A, tada je

φ_A = φ₁φ₂...φ_l,  μ_A = φ_l.

Poopćenja

Rabeći teorije Galoisa se ustanovljava da minimalni polinom matrice ne ovisi od polja nad kojim se ona promatra: ako je K potpolje nekog polja L i A matrica nad poljem K, tada je minimalni polinom matrice A kao matrice nad poljem K istovremeno i njen minimalni polinom kao matrice nad poljem L.

Minimalni polinom se definira i za matrice nad bilo kojim glavnoidealskim prstenom S kao generatorom ideala polinoma koji poništavaju matricu A u prstenu polinoma S[X], za koji se pak dokazuje da je onda i sam glavnoidealski; u tom slučaju on je definiran jednoznačno do na množenje jedinicama prstena S.

Minimalni polinom se također može definirati i za linearne operatore L na prostorima proizvoljne (moguće beskonačne) dimenzije kao monični polinom p najmanjeg stupnja takav da je p(L) = 0, ako takav polinom postoji. Na primjer, u funkcionalnoj analizi, svaki operator projekcije P u prostoru proizvoljne dimenzije je idempotentan, pa zadovoljava jednadžbu P² − P = 0. Stoga je njegov minimalni polinom uvijek jedan od polinoma X (za operator projekcije na nul-potprostor), X −1 (za identični operator) ili X² − X (za sve ostale operatore projekcije).