Identitet Sophie Germain

Identitet Sophie Germain je jednakost u elementarnoj algebri kojega je koristila poznata francuska matematičarka Germain u svojim istraživanjima Posljednjeg Fermatovog teorema.

Identitet glasi:

$a^{4}+4b^{4}=((a+b)^{2}+b^{2})((a-b)^{2}+b^{2}).$

Zanimljivo je da se ovaj identitet danas često koristi pri rješavanju matematičkih zadataka olimpijskog tipa iz područa elementarne algebre.

Izvod

Izraz $a^{4}+4b^{4}$ je jednak $(a^{2})^{2}+(2b^{2})^{2}+4a^{2}b^{2}-4a^{2}b^{2}$. Sada slijedi $a^{4}+4b^{4}=(a^{2}+2b^{2})^{2}-(2ab)^{2}$, odnosno $a^{4}+4b^{4}=(a^{2}+2b^{2}+2ab)(a^{2}+2b^{2}-2ab)$ što konačno daje $((a+b)^{2}+b^{2})((a-b)^{2}+b^{2})$.