Prirodni broj

Prirodnim brojevima zovemo pozitivne cijele brojeve Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \{1,2,3,...\}} . Skup prirodnih brojeva u matematici označavamo velikim slovom $\mathbb {N}$. Skup se često proširuje brojem nula te ga u tom slučaju označavamo sa $\mathbb {N} _{0}$.

Eksperimentalno možemo reći:

I   $\mathbb {N}$ nije prazan skup.

II   $\mathbb {N}$ je uređen skup.

III   Ako je n$\in \mathbb {N}$, onda je skup svih prirodnih brojeva manjih od n konačan skup.

IV   Skup $\mathbb {N}$ nema maksimalnog (najvećeg) člana.

Definicija

Neprazni skup $\mathbb {N}$ zove se skup prirodnih brojeva, a njegovi su elementi prirodni brojevi, ako vrijede ovi uvjeti (aksiomi):

Aksiom A: Postoji funkcija Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle s} sa $\mathbb {N}$ u $\mathbb {N}$.

Aksiom B: Postoji barem jedan član u $\mathbb {N}$, označimo ga sa 1, takav da je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s(n) \ne 1,\; \forall n\in\mathbb{N}} .

Aksiom C: Ako je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s(m)=s(n)} za Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m,n\in\mathbb{N}} , onda je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m=n} .

Aksiom D: Ako je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{M}} podskup od Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{N}} i ako vrijedi:

(I)  Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1\in \mathrm{M}}

(II)  Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\forall n\in\mathbb{N} \right) \left (n \in \mathrm{M} \Rightarrow n + 1 \in \mathrm{M} \right )}

onda je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{M}=\mathbb{N}}

Navedeni aksiomi poznati su pod imenom Peanovi aksiomi skupa prirodnih brojeva, prema talijanskom matematičaru G. Peanu (1858-1931).