Pitagorine trojke

Pitagorina trojka je naziv za uređenu trojku prirodnih brojeva $(x,y,z)$ gdje su $x$ i $y$ duljine kateta, a $z$ duljina hipotenuze nekog pravokutnog trokuta. Prema Pitagorinom poučku je $x^{2}+y^{2}=z^{2}$.

Ako su $x,y,z$ relativno prosti, onda kažemo da je $(x,y,z)$ primitivna Pitagorina trojka. Takav trokut sukladno tome nazivljemo primitivni Pitagorin trokut. Uočimo da iz $M(x,y,z)=1$ slijedi da je $M(x,y)=M(x,z)=M(y,z)=1$.

Poznato je da je francuski matematičar i pravnik Pierre de Fermat u svojim radovima u vezi Fermatovog posljednjeg teorema koristio tzv. metodu beskonačnog spusta. U tim se radovima bavio i Pitagorinim trojkama jer su one zapravo rješenje Fermatove jednadžbe $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ za slučaj n = 2.

Euklidova formula

Euklidova formula je teorem koji daje jednostavnu formulu kojom se mogu generirati sve Pitagorine trojke. Teorem kaže da su sve Pitagorine trojke $(x,y,z)$ u kojima je $x$ paran, dane formulama $x=2mn,y=m^{2}-n^{2},z=m^{2}+n^{2}$, gdje je $m>n$ i $m,n$ relativno prosti prirodni brojevi različite parnosti.

Dokaz. Pretpostavimo da imamo primitivnu Pitagorinu trojku sa stranicama $x,y,z$. Tada je $M(x,y,z)=1$ i vrijedi $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ (1). (Trebaju biti sva tri međusobno relativno prosta jer da je npr. $M(x,y)=d>1$ iz (1) slijedilo bi da $d\vert z$.) Jasno je da ne mogu sva tri broja $x,y,z$ biti neparna, a očito ne može biti više od jednog parnog jer bi tada $x,y,z$ ne bi bili relativno prosti. Dakle, jedan od $x,y,z$ mora biti paran. Dokazat ćemo da je $z$ neparan. Naime, kada bi $z=2n$ bio paran, tada bi $x=2n_{1}+1,y=2n_{2}+1$ trebali biti neparni. No, onda bi iz (1) slijedilo da je lijeva strana jednakosti daje ostatak 2, a desna ostatak 0 pri dijeljenju s 4, što je kontradikcija. Dakle, $z$ je neparan te su $x,y$ različite parnosti.

Sada bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je $x$ paran. Zapišimo (1) u obliku $x^{2}=(z-y)(z+y)$ (2), gdje su $z-y,z+y$ oba parni, jer su očito iste parnosti, a na lijevoj strani je paran broj. Dakle, postoje $a,b,c\in \mathbb {N}$ takvi da $x=2u,z-y=2v,z+y=2w$. Uvrštavanjem u (2) dobije se Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle u^{2}=vw} . Pokažimo sada da su Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle v,w} također relativno prosti. Kako Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle M(v,w)} dijeli oba Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle v+w=z,v-w=y} slijedi $M(v,w)\vert M(y,z)=1$ pa je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M(v, w) = 1} . Odmah se vidi da, zbog toga što je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u^2 = vw } prema Osnovnom stavku aritmetike slijedi da su oba Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v, w} potpuni kvadrati pa postoje Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m > m, m, n \in \mathbb{N}} takvi da je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v = m^2, w = n^2 } . Kako je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M(v, w) = 1} slijedi da su i Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m, n} relativno prosti te odovuda slijedi Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z = m^2 + n^2, y = m^2 - n^2} . Zbog toga što su Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z, y} oba neparni jasno je da su Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m, n} različite parnosti. Iz (1) dobivamo da je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2 = (m^2 + n^2)^2 - (m^2 - n^2)^2 = 2mn. }

Valjda još dokazati da je za bilo koja dva relativno prosta prirodna broja Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m, n} trojka $(2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})$ zapravo primitivna Pitagorina trojka. Očito je da Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (2mn)^{2}+(m^{2}-n^{2})^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}} vrijedi, dakle treba još samo pokazati da je $M(2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2})=1$. Pretpostavimo da postoji Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle d>1} takav da Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle d\vert 2mn,d\vert m^{2}-n^{2}} . Kako je Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle m^{2}-n^{2}} neparan vrijedi Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle d\neq 2k,k\in \mathbb {N} } pa $d$ mora dijeliti točno jedan od $m,n$; neka BSO $d\vert m$. Tada $d\vert m^{2}-n^{2},d\vert m^{2}$ pa Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle d\vert n^{2}} iz čega je Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle d\vert n} , što je kontradikcija.

Ovime smo pokazali valjanost Euklidove formule, odnosno da su sve Pitagorine trojke dane identitetom Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (2dmn)^{2}+(d(m^{2}-n^{2}))^{2}=(d(m^{2}+n^{2}))^{2}} na skupu prirodnih brojeva.

Povezanost s kompleksnim brojevima

Neka je Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle z=x+yi,x,y\in \mathbb {N} } . Tada vrijedi Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle z^{2}=x^{2}-y^{2}+2xyi} .

Stavimo $|x^{2}-y^{2}|=a,2|xy|=b$ pa ćemo imati: $a^{2}+b^{2}=(x^{2}-y^{2})^{2}+4x^{2}y^{2}=(x^{2}+y^{2})^{2}=c^{2}.$

I sada iz jednakosti Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle a=|x^{2}-y^{2}|,b=2xy,c=x^{2}+y^{2}} za svaki Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x,y\in \mathbb {N} ,x\neq y} dobijemo jednu Pitagorinu trojku brojeva.

Napomena o ekvivalenciji

Samo na temelju definicije Pitagorine trojke nije očito da će rješavanje jednadžbe $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ u skupu prirodnih brojeva biti potpuno ekvivalentno traženju Pitagorinih trojki.

Naime, nije otklonjena mogućnost da ako je trojka Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})} za Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x_{0},y_{0},z_{0}\in \mathbb {N} } rješenje jednadžbe (1), da uistinu postoji pravokutan trokut sa stranicama $x_{0},y_{0},z_{0}$.

Da bismo dokazali da za svaku trojku koja je rješenje jednadžbe (1) postoji takav pravokutan trokut dovoljno je pokazati da za bilo koju takvu trojku Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})} vrijedi nejednakost trokuta, tj. da mora biti $x_{0}+y_{0}>z_{0},x_{0}+z_{0}>y_{0},y_{0}+z_{0}>x_{0}$ jer će tada biti moguće konstruirati pravokutan trokut sa stranicama $x_{0},y_{0},z_{0}$.

Treba uočiti da je jednadžba (1) ekvivalentna s Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (x_{0}+y_{0})^{2}-2x_{0}y_{0}={z_{0}}^{2}} iz čega slijedi Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (x_{0}+y_{0})^{2}>{z_{0}}^{2}} (jer je $2x_{0}y_{0}>0$) pa je očito Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x_{0}+y_{0}>z_{0}.} Analogno se pokazuju druge dvije nejednakosti.

Ovime je ekvivalencija dokazana, odnosno svaka trojka prirodnih brojeva $x_{0},y_{0},z_{0}$ koja zadovoljava $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ je ujedino i jedna Pitagorina trojka.