Interval (matematika)

Interval (matematika) Interval (matematika)

Ovaj članak ili dio članka nije pokriven izvorima. Pomozite HIE navođenjem odgovarajućih knjiga, članaka u časopisima ili internetskih stranica.

U matematici intervalom nazivamo skup (najčešće) realnih brojeva, koji se nalaze između dva poznata broja, ta dva broja se nazivaju granice intervala. Npr. interval Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle 5, 8 \rangle} (rjeđe i Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (5, 8)} ) opisuje skup realnih brojeva između 5 i 8, bez tih brojeva. Dok pak interval Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [5, 8]} označava skup realnih brojeva između 5 i 8, uključujući 5 i 8. U apstraktnoj matematici interval je definiran kao podskup S nekog linearno uređenoga skupa T, za koji vrijedi, bilo koje x, y ∈ S a x < z < y, te z ∈ S.

Naravno, interval može pripadati samo jednom ili uniji više skupova brojeva.

Vrste intervala

Intervali realnih brojeva mogu imati jedan od sljedećih oblika (a, b su realni brojevi, gdje a < b):

1. (a,b) = { x | a < x < b }
2. [a,b] = { x | a ≤ x ≤ b }
3. [a,b) = { x | a ≤ x < b }
4. (a,b] = { x | a < x ≤ b }
5. (a,∞) = { x | a < x }
6. [a,∞) = { x | a ≤ x }
7. (−∞,b) = { x | x < b }
8. (−∞,b) = { x | x ≤ b }
9. (−∞,∞) = R, cijeli skup realnih brojeva
10. {a} u slučaju [a,a]
11. Prazan skup u slučaju (a,a), npr. kada je lijeva granica intervala veća nego desna.

Intervali 1., 5., 7., 9. i 11. se zovu otvoreni intervali, intervali 2., 6., 8., 9., 10. i 11. su zatvoreni intervali (koji se također ponekad nazivaju segmenti). Intervali 3. i 4. se nekada nazivaju poluotvoreni ili poluzatvoreni ili s lijeva/s desna otvoreni/zatvoreni.

Aritmetika intervala

Matematiku intervala je predstavio M. Warmus 1956. godine. Ta aritmetika daje definiciju operacijama nad intervalima tako da

A ⊕ B = { x | (∃y ∈ A) (∃z ∈ B) x = y ⊕ z }

Za osnovne računske operacije to znači:

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a,b) - (c,d) = (a-d, b-c)}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a,b) \cdot (c,d) = (\min \{ac, ad, bc, bd\}, \max \{ac, ad, bc, bd\})}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a,b) : (c,d) = (\min \{a:c, a:d, b:c, b:d\}, \max \{a:c, a:d, b:c, b:d\})}

Dijeljenje intervalom koji sadrži nulu nije definirano. Zbrajanje i množenje su komutativne, asocijativne i poddistributivne operacije (skup X(Y + Z) je podskup od XY + XZ).