Bernoullijeva diferencijalna jednadžba

Bernoullijeva diferencijalna jednadžba' je jedna od najvažnijih običnih diferencijalnih jednadžbi koju je 1695. proučavao švicarski matematičar Jacob Bernoulli, iako je njezino rješenje prije samog Bernoullija znao znameniti njemački matematičar Gottfried Wilhelm Leibniz.

Bernoullijeva diferencijalna jednadžba je svaka jednadžba u obliku

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle y'+f(x)y=g(x)y^{r}\,} ,

gdje su $f(x),g(x)$ poznate realne funkcije, a $r$ neki realni broj.

Ako je Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r = 0 } ili Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle r=1} dobivamo običnu linearnu diferencijalnu jednadžbu.

Rješavanje jednadžbe

Dijeljenjem jednadžbe sa Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle y^{r}} dobivamo ${\frac {y'}{y^{r}}}+{\frac {f(x)}{y^{r-1}}}=g(x).$ I sada supstitucijom (tj. zamjenom varijabli) pretvaramo je u linearnu diferencijalnu jednadžbu prvoga reda. Naime, stavimo Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle u={\frac {1}{y^{r-1}}}} i sada koristeći pravilo za derivaciju kompozicije dobivamo Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle u'={\frac {(1-r)}{y^{r}}}y'} te jednadžba konačno prelazi u oblik ${\frac {u'}{1-r}}+f(x)u=g(x)$.