Koalgebra

$k$-koalgebra (sinonim: kogebra) je par $(C,\Delta )$ u kojem je $C$ vektorski prostor nad poljem $k$ i $\Delta :C\to C\otimes _{k}C$ kounitalno koasocijativno preslikavanje kojeg zovemo komnoženje. Koasocijativnost znači da $(\Delta \otimes _{k}id_{C})\circ \Delta =(id_{C}\otimes _{k}\Delta )\circ \Delta$, a kounitalnost znači da postoji (pri tom nužno jedinstveno) $k$-linearno preslikavanje $\epsilon :C\to k$, koje zovemo kojedinicom koalgebre $(C,\Delta )$, i koje zadovoljava uvjet $(\epsilon \otimes _{k}id_{C})\circ \Delta \cong id_{C}\cong (id_{C}\otimes _{k}\epsilon )\circ \Delta$. U posljednjem identitetu $\cong$ označava jednakost preslikavanja do na identifikacije $k\otimes C\cong C\cong C\otimes _{k}k$. Mnogi autori uvode koalgebru kao trojku $(C,\Delta ,\epsilon )$, no u tome nema bitne razlike, s obzirom da je kojedinica (ako postoji) jedinstveno određena komnoženjem.

Pojam koalgebre se često gleda u većoj općenitosti u kojoj je $k$ komutativni prsten s jedinicom, a $C$ je $k$-modul. Još općenitije, kategorija vektorskih prostora može se zamijeniti ma kojom monoidalnom kategorijom $(A,\otimes ,1)$. U toj općenitosti, umjesto riječi koalgebra u monoidalnoj kategoriji $(A,\otimes ,1)$ često se rabi termin (unutarnji) komonoid u $(A,\otimes ,1)$. Taj pojam je dvojstven (u smislu dvojstvenosti u teoriji kategorija) pojmu (unutarnjeg) monoida.

Koalgebre su se najprije pojavile u algebarskoj topologiji, u radovima Hopfa i Steenroda i u prvom sustavnom radu o Hopfovim algebrama Milnora i Moorea. U tim radovima, promatrane su koalgebre u kategorijama graduiranih vektorskih prostora.

Vanjske poveznice

• https://ncatlab.org/nlab/show/coalgebra