Divergencija polja

U vektorskoj analizi divergencija je operator kojim se određuje jakost izvorā vektorskog polja po prostoru.

Vektorsko polje je funkcija koja svakoj točki prostora pridružuje vektor. U fizici, primjeri vektorskih polja su polje brzina čestica u fluidu ili električno i magnetsko polje. Za razliku od njih, skalarna polja svakoj točki prostora pridružuju jedan skalar (broj), poput temperature ili lokalne gustoće.^[1]^[2]

Divergencija je skalarno polje koje daje tok gustoće vektorskog polja u svakoj točki prostora. Kada se divergencija polja prointegrira unutar zatvorene plohe — ili pojednostavljeno, kada se pozbrajaju umnošci divergencije (kao volumne gustoće) i infinitezimalno sitnih djelića volumena zatvorenog tom plohom — dobije se tok vektorskog polja kroz plohu.^[3]

Divergencija se najviše primjenjuje u fizici. Neki od najvažnijih zakona u elektromagnetizmu i hidrodinamici iskazani su preko divergencije električnih, magnetskih i polja brzine fluida. Divergencija električnog polja tako je nula gdjegod nema naboja; pozitivna je na mjestu pozitivnih naboja te su oni izvori tog polja, a negativna na mjestu negativih naboja koji su njegovi ponori. Divergencija magnetskog polja uvijek je nula, magnetsko polje nema zasebne izvore i ponore — ne postoje magnetski monopoli.

Definicija

Divergencija vektorskog polja Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathbf {F} } u točki $\mathbf {x}$ definira se kao granična vrijednost toka polja kroz zatvorenu plohu koja obuhvaća tu točku kako se ploha prema njoj sažima. Budući da je tok polja dan površinskim integralom funkcije Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathbf {F} } , divergencija je^[3]^[4]

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathrm {div} \mathbf {F} |_{\mathbf {x} }\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,\lim _{V\rightarrow 0}{\tfrac {1}{V}}\int _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} } .

Ovdje je V volumen zahvaćen zatvorenom plohom S(V) koja okružuje točku $\mathbf {x}$ , a dS infinitezimalni element plohe sa smjerom normale na plohu.

Budući da su i tok polja i volumen skalari, i divergencija je kao limes njihova omjera skalar. Divergencija je dakle skalarno polje koje karakterizira vektorsko polje na koje djeluje. Točke prostora gdje je Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} >0} nazivaju se izvorima, a točke gdje je Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} <0} ponorima polja.

Definicija divergencije ne ovisi o koordinatnom sustavu. U primjeni se pak rijetko koristi definicija pa se oblik operatora divergencije veže za izabrani koordinatni sustav.

Gaussov teorem

Za divergenciju vektorskog polja Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathbf {F} } vrijedi Gaussov teorem, ponegdje zvan i teoremom Gaussa i Ostrogradskog,^[5]

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int _{V}\operatorname {div} \mathbf {F} \,\mathrm {d} V=\int _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }

Teorem kaže da je integral divergencije polja po volumenu zatvorenom nekom plohom jednak toku polja kroz tu plohu. Fizički, ovo znači da ako se u danom volumenu materija ne stvara i ne uništava, njena se gustoća može mijenjati samo njenim protjecanjem kroz granicu volumena.^[5]

Operator divergencije u pravokutnom koordinatnom sustavu

Operator divergencije u pravokutnom koordinatnom sustavu dobije se iz opće definicije razmatranjem toka polja kroz stranice kvadra koji sadrži točku s koordinatama Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})} .^[3]^[6] Možemo uzeti da je ova točka u središtu kvadra i da su duljine njegovih stranica Δx, Δy i Δz.

Tok polja Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathbf {F} ={\hat {x}}F_{x}+{\hat {y}}F_{y}+{\hat {z}}F_{z}} kroz prednju plohu kvadra kojoj normala gleda u smjeru pozitivne osi x, bit će

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int _{S_{yz}}\mathbf {F} (x_{0}+{\tfrac {1}{2}}\Delta x,y,z)\cdot {\hat {x}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=\int _{S_{yz}}F_{x}(x_{0}+{\tfrac {1}{2}}\Delta x,y,z)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z}

dok će tok polja kroz nasuprotnu plohu, kojoj normala gleda u smjeru negativne osi x biti

\int _{S_{yz}}\mathbf {F} (x_{0}-{\tfrac {1}{2}}\Delta x,y,z)\cdot (-{\hat {x}})\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=-\int _{S_{yz}}F_{x}(x_{0}-{\tfrac {1}{2}}\Delta x,y,z)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z

.

Ovdje S_yz označava sljedeće granice integracije po osima y i z: Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle |y-y_{0}|\leq {\tfrac {1}{2}}\Delta y} , Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle |z-z_{0}|\leq {\tfrac {1}{2}}\Delta z} .

Ukupnom toku kroz oplošje kvadra ove će dvije plohe doprinijeti s

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \,\,\int \limits _{S_{yz}}\underbrace {{\Bigl [}F_{x}(x_{0}+{\tfrac {1}{2}}\Delta x,y,z)-F_{x}(x_{0}-{\tfrac {1}{2}}\Delta x,y,z){\Bigr ]}} _{{\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}\cdot \Delta x}dy\,dz} .

U prijelazu na infinitezimalne veličine, može se uzeti da se integrand Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}\Delta x} ne mijenja mnogo u intervalu integracije. Doprinos toku polja s dviju nasuprotnih stranica stoga je

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {\partial F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x}}\Delta x\Delta y\Delta z} .

Isto se razmatranje može ponoviti i za preostale plohe u nasuprotnim parovima. Tok polja kroz oplošje kvadra bit će zbroj triju pribrojnika s izmijenjenim komponentama polja i osima parcijalne derivacije.

\Phi _{\Delta V}(\mathbf {F} )=\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\right)\cdot \Delta V.

Prema definiciji, divergencija u točki Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})} bit će

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} |_{(x_{0},y_{0},z_{0})}={\frac {\partial F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial z}}.}

I općenito, u bilo kojoj točki Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (x,y,z)}

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}}

Upravo je ovaj izraz formalna definicija divergencije u kartezijevom koordinatnom sustavu. Operator divergencije simbolički se piše pomoću Hamiltonova operatora nabla:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} =\left({\hat {x}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot ({\hat {x}}F_{x}+{\hat {y}}F_{y}+{\hat {z}}F_{z})={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.}

Divergencija u drugim koordinatnim sustavima

u cilindričnom koordinatnom sustavu:

\operatorname {div} \mathbf {F} ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}(\rho F_{\rho })+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}};

u sfernom koordinatnom sustavu:

Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}F_{r})+{\frac {1}{r\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}(F_{\vartheta }\sin \vartheta )+{\frac {1}{r\sin \vartheta }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}.}

Svojstva operatora divergencije

Za dana vektorska polja Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\vec {u}}} i ${\vec {v}}$ , skalar Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle U} , skalarnu funkciju Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f(U)} i vektor položaja Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\vec {r}}} vrijedi:^[2]

$\operatorname {div} ({\vec {u}}+{\vec {v}})=\operatorname {div} {\vec {u}}+\operatorname {div} {\vec {v}}$
Obrada nije uspjela. (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {div} (U\cdot {\vec {v}})=U\cdot \operatorname {div} {\vec {v}}+{\vec {v}}\cdot \operatorname {grad} U}
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{div}[f(U) \cdot \vec{v}]=f(U)\cdot \operatorname{div}\vec{v} + \vec{v}\cdot f_U^{'}(U)\cdot \operatorname{grad} U}
Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{div}\vec{r}=3.}

Primjer

Divergencija elektrostatskog polja točkastog naboja postavljenog u ishodištu sustava danog Coulombovim zakonom

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{E}= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{q}{r^3}\vec{r}}

iznosi

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\operatorname{div} \vec{E} = \operatorname{div} \left(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{q}{r^3}\vec{r} \right) \stackrel{(2.)}{=}\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r^3} \cdot \operatorname{div}\vec{r} +\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0}\vec{r} \cdot \operatorname{grad} \frac{1}{r^3} \stackrel{(4.)}{=}\frac{3q}{4 \pi \varepsilon_0 r^3}+\frac{3q}{4 \pi \varepsilon_0} \vec{r}\frac{(-1)}{r^5}\vec{r}=0}}

u svakoj točki prostora osim u ishodištu. Ovaj rezultat zapravo je jedna od Maxwellovih jednadžbi, odnosno Gaussov zakon u prostoru gdje nema naboja.

Vezani pojmovi

Izvori

↑
• Nepoznat parametar: archivedate
• Nepoznat parametar: archiveurl
• Parametar accessdate nije dopušten u klasi web
↑ ^2,0 ^2,1
• Nepoznat parametar: archivedate
• Nepoznat parametar: archiveurl
• Parametar accessdate nije dopušten u klasi web
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2
• Parametar accessdate nije dopušten u klasi web
↑
• Nepoznat parametar: archivedate
• Nepoznat parametar: archiveurl
• Parametar accessdate nije dopušten u klasi web
↑ ^5,0 ^5,1
• Parametar accessdate nije dopušten u klasi web
↑
• Parametar accessdate nije dopušten u klasi book

[1] 
• Nepoznat parametar: archivedate
• Nepoznat parametar: archiveurl
• Parametar accessdate nije dopušten u klasi web

[:2-2] 2,0 ^2,1
• Nepoznat parametar: archivedate
• Nepoznat parametar: archiveurl
• Parametar accessdate nije dopušten u klasi web

[:0-3] 3,0 ^3,1 ^3,2
• Parametar accessdate nije dopušten u klasi web

[4] 
• Nepoznat parametar: archivedate
• Nepoznat parametar: archiveurl
• Parametar accessdate nije dopušten u klasi web

[:1-5] 5,0 ^5,1
• Parametar accessdate nije dopušten u klasi web

[6] 
• Parametar accessdate nije dopušten u klasi book

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Divergencija polja

Sadržaj

Definicija

Gaussov teorem

Operator divergencije u pravokutnom koordinatnom sustavu

Divergencija u drugim koordinatnim sustavima

Svojstva operatora divergencije

Primjer

Vezani pojmovi

Izvori

Navigacijski izbornik

Divergencija polja

Definicija

Gaussov teorem

Operator divergencije u pravokutnom koordinatnom sustavu

Divergencija u drugim koordinatnim sustavima

Svojstva operatora divergencije

Primjer

Vezani pojmovi

Izvori

Navigacijski izbornik

Traži