Homomorfizam

Homomorfizam (od grčki: homós - isti, grčki: morphe - oblik, forma) u matematici predstavlja preslikavanje između dvije algebarske strukture istog tipa, koje čuva njihovu strukturu.

Osobine

Neka su $(M,\cdot )$ i $(K,\times )$ dvije algebarske strukture istog tipa (grupa, polje, monoid itd.). Ako je preslikavanje $f:M\rightarrow K$ homomorfizam a $a,b\in M$ vrijedit će:

$f(a\cdot b)=f(a)\times f(b)$

Vrste homomorfizama

• Izomorfizam je bijektivni homomorfizam. Dva objekta su izomorfna ako postoji izomorfizam između njih. Izomorfni objekti su potpuno nerazaznatljivi što se tiče strukture koja je u pitanju.

• Epimorfizam je surjektivni homomorfizam.

• Monomorfizam je injektivni homomorfizam.

• Homomorfizam sa nekog objekta na samog sebe se zove endomorfizam.

• Endomorfizam koji je i izomorfizam se zove automorfizam.

U širem kontekstu preslikavanja koja čuvaju strukturu, općenito nije dovoljno definirati izomorfizam kao bijektivni morfizam. Potreban uvjet je i da je inverzni morfizam istog tipa. U algebarskim uvjetima, ovaj dodatni uvjet je automatski zadovoljen.