Metoda parcijalne integracije

Metoda parcijalne integracije je postupak u matematici u kojemu se integral koji se ne može izračunati svodi na integral koji može.

Neodređeni integral

Formula za parcijalnu integraciju se izvodi iz formule za derivaciju produkta funkcija $(uv)'=u'v+uv'$, koja se može zapisati kao

$\int uv'dx=uv-\int u'vdx$

što predstavlja formulu za parcijalnu integraciju.

Funkcije $u$ i $v$ moraju biti izabrane tako da je integral s desne strane jednakosti moguće lakše izračunati nego početni. Treba imati na umu da će se u postupku morati izračunati i pomoćni integral

$\int v'dx$.

Kao jednostavan primjer može poslužiti integral

$\int xe^{x}dx$

koji se izračunava parcijalnom integracijom stavljanjem $u=x$ i $v'=e^{x}$.

Određeni integral

Neka je $u:[a,b]\to \mathbb {R}$ neprekidna funkcija, i $v:[a,b]\to \mathbb {R}$ neprekidno diferencijabilna funkcija. Ako je $U$ primitivna od $u$ tada je formula za parcijalnu integraciju:

$\int _{a}^{b}u(x)v(x)dx=U(b)v(b)-U(a)v(a)-\int _{a}^{b}U(x)v'(x)dx$