Diferencijalne jednadžbe

Diferencijalna jednadžba je matematička jednadžba koja povezuje neku funkciju s njenim derivacijama. U primjenama, funkcije obično predstavljaju fizikalne veličine, derivacije predstavljaju njihove stope promjena, a jednadžba definira odnos između funkcije i derivacije. Jer su takvi odnosi iznimno česti, diferencijalne jednadžbe igraju veliku ulogu u mnogim disciplinama, kao što su inženjerstvo, fizika, ekonomija i biologija.

U čistoj matematici, diferencijalne jednadžbe se proučavaju iz nekoliko različitih perspektiva, najviše prema svojim rješenjima - skupa funkcija koje zadovoljavaju jednadžbu. Samo su najjednostavnije diferencijalne jednadžbe rješive eksplicitnim formulama; međutim, neka svojstva rješenja dane diferencijalne jednadžbe mogu biti određena bez nalaženja njihovog egzaktnog oblika. Ako eksplicitna formula za rješenje nije dostupna, rješenje se može numerički aproksimirati upotrebom računala. Teorija dinamičkih sustava stavlja naglasak na kvalitativnu analizu sustava opisanih diferencijalnim jednadžbama, dok su mnoge numeričke metode razvijene da se odrede rješenja sa danim stupnjem točnosti.

Diferencijalna jednadžba veličina x i y ona je jednadžba u kojoj su te dvije veličine povezane jednadžbom u kojoj se pojavljuju njihovi diferencijali dx i dy, tako raspoređeni da se iz diferencijalnog oblika može prijeći u derivacijski.

Red diferencijalnoj jednadžbi određujue diferencijal (odnosno derivacija) najvišeg reda u dotičnoj diferencijalnoj jednadžbi.

Rješenje diferencijalne jednadžbe je svaka funkcijska veza koja ju prevodi u identitet odnosno neku poznatu jednakost. Nakon diferenciranja i uvrštavanja u diferencijalnu jednaždbu se iz te funkcijske veze može dobiti trivijalan identitet 0 = 0.

Povijest

Diferencijalne jednadžbe su se pojavile Newton-Leibnizovim izumom diferencijalnog računa. U drugom poglavlju djela iz 1671. Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum, Isaac Newton je izlistao tri vrste diferencijalnih jednadžbi:

• ${\frac {dy}{dx}}=f(x)$
• ${\frac {dy}{dx}}=f(x,y)$
• $x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y$

On rješava te primjere i druge upotrebom beskonačnih redova i raspravlja o nejedinstvenosti rješenja.

Jacob Bernoulli predložio je svoju diferencijalnu jednadžbu 1695. godine. To je obična diferencijalna jednadžba oblika:

$y'+P(x)y=Q(x)y^{n}$

za koju je sljedeće godine Leibniz našao rješenja pojednostavljivanjem.

Povijesno, problem vibrirajuće žice, npr. od glazbenog instrumenta, proučavali su Jean le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Benoulli i Joseph-Louis Lagrange. 1746. d'Alembert je otkrio jednodimenzionalnu valnu jednadžbu, i unutar deset godina Euler je otkrio trodimenzionalnu valnu jednadžbu.

U 1750-ima Euler i Lagrange razvijaju Euler-Lagrange jednadžbu u vezi s njihovim studijima o problemu određivanja krivulje na koju će čestica s težinom pasti na određenu točku u određenom vremenu, neovisno o prvotnoj poziciji.

Lagrange je riješio taj problem 1755. i poslao rješenje Euleru. Oboje su dalje razradili Lagrangeovu metodu i primijenili je na mehaniku, što je dovelo do formulacije Lagrangeove mehanike.

Fourier je objavio svoje djelo o raspodjeli topline u Theorie analytique de la chaleur, u kojem je osnivao svoja razmišljanja na Newtonovom zakonu hlađenja, naime, da je raspodjela topline između dviju molekula proporcionalna iznimno malom razlikom u njihovim temperaturama. U toj knjizi bio je sadržan Fourierov prijedlog te jednadžbe topline za difuziju topline. Ta parcijalna diferencijalna jednadžba se u današnje vrijeme podučava svakom studentu matematičke fizike.

Programska podrška

• ExpressionsinBar
• Maple: dsolve
• SageMath
• Xcas: desolve(y'=k*y,y)

Literatura

U djelu Svetozar Kurepa: Matematička analiza 2 funkcije jedne varijable, Tehnička knjiga, Zagreb, 1990. (na str. 272 do 294) nalazi se uvod u diferencijalne jednadžbe.

Ovo je osnova ili početak budućeg članka. Pomozite HIE i dopunite ga.