Koalgebra: razlika između inačica

Posljednja izmjena od 23. lipanj 2025. u 09:56

$k$ -koalgebra (sinonim: kogebra) je par $(C,\Delta )$ u kojem je $C$ vektorski prostor nad poljem $k$ i $\Delta :C\to C\otimes _{k}C$ kounitalno koasocijativno preslikavanje kojeg zovemo komnoženje. Koasocijativnost znači da $(\Delta \otimes _{k}id_{C})\circ \Delta =(id_{C}\otimes _{k}\Delta )\circ \Delta$ , a kounitalnost znači da postoji (pri tom nužno jedinstveno) $k$ -linearno preslikavanje $\epsilon :C\to k$ , koje zovemo kojedinicom koalgebre $(C,\Delta )$ , i koje zadovoljava uvjet $(\epsilon \otimes _{k}id_{C})\circ \Delta \cong id_{C}\cong (id_{C}\otimes _{k}\epsilon )\circ \Delta$ . U posljednjem identitetu $\cong$ označava jednakost preslikavanja do na identifikacije $k\otimes C\cong C\cong C\otimes _{k}k$ . Mnogi autori uvode koalgebru kao trojku $(C,\Delta ,\epsilon )$ , no u tome nema bitne razlike, s obzirom da je kojedinica (ako postoji) jedinstveno određena komnoženjem.

Pojam koalgebre se često gleda u većoj općenitosti u kojoj je $k$ komutativni prsten s jedinicom, a $C$ je $k$ -modul. Još općenitije, kategorija vektorskih prostora može se zamijeniti ma kojom monoidalnom kategorijom $(A,\otimes ,1)$ . U toj općenitosti, umjesto riječi koalgebra u monoidalnoj kategoriji $(A,\otimes ,1)$ često se rabi termin (unutarnji) komonoid u $(A,\otimes ,1)$ . Taj pojam je dvojstven (u smislu dvojstvenosti u teoriji kategorija) pojmu (unutarnjeg) monoida.

Koalgebre su se najprije pojavile u algebarskoj topologiji, u radovima Hopfa i Steenroda i u prvom sustavnom radu o Hopfovim algebrama Milnora i Moorea^[1]. U tim radovima, promatrane su koalgebre u kategorijama graduiranih vektorskih prostora.

Izvori

↑ Milnor, John W.; Moore, John C. (1965), "On the structure of Hopf algebras", Annals of Mathematics 81 (2): 211–264, doi:10.2307/1970615, JSTOR 1970615, MR 0174052, https://doi.org/10.2307/1970615

Vanjske poveznice

https://ncatlab.org/nlab/show/coalgebra

[1] Milnor, John W.; Moore, John C. (1965), "On the structure of Hopf algebras", Annals of Mathematics 81 (2): 211–264, doi:10.2307/1970615, JSTOR 1970615, MR 0174052, https://doi.org/10.2307/1970615

[1]

Inačica od 11. prosinac 2021. u 08:42 vidi izvor WikiSysop (razgovor \| doprinosi) AA_Korisnik, Botovi, Birokrati, Administratori sučelja, Otajnici, Administratori 568.127 edits Bot: Automatski unos stranica		Posljednja izmjena od 23. lipanj 2025. u 09:56 vidi izvor WikiSysop (razgovor \| doprinosi) AA_Korisnik, Botovi, Birokrati, Administratori sučelja, Otajnici, Administratori 568.127 edits m Zamjena teksta - '<!--'''Ko(.*)'''-->' u ''
Redak 1:		Redak 1:
	~~<!--'''Koalgebra'''-->~~<math>k</math>-'''koalgebra''' (sinonim: kogebra) je par <math>(C,\Delta)</math> u kojem je <math>C</math> [[vektorski prostor]] nad poljem <math>k</math> i <math>\Delta : C\to C\otimes_k C</math> kounitalno koasocijativno preslikavanje kojeg zovemo komnoženje. Koasocijativnost znači da <math>(\Delta\otimes_k id_C)\circ\Delta = (id_C\otimes_k\Delta)\circ\Delta</math>, a kounitalnost znači da postoji (pri tom nužno jedinstveno) <math>k</math>-linearno preslikavanje <math>\epsilon: C\to k</math>, koje zovemo kojedinicom koalgebre <math>(C,\Delta)</math>, i koje zadovoljava uvjet <math>(\epsilon\otimes_k id_C)\circ\Delta \cong id_C \cong (id_C\otimes_k\epsilon)\circ\Delta</math>.		<math>k</math>-'''koalgebra''' (sinonim: kogebra) je par <math>(C,\Delta)</math> u kojem je <math>C</math> [[vektorski prostor]] nad poljem <math>k</math> i <math>\Delta : C\to C\otimes_k C</math> kounitalno koasocijativno preslikavanje kojeg zovemo komnoženje. Koasocijativnost znači da <math>(\Delta\otimes_k id_C)\circ\Delta = (id_C\otimes_k\Delta)\circ\Delta</math>, a kounitalnost znači da postoji (pri tom nužno jedinstveno) <math>k</math>-linearno preslikavanje <math>\epsilon: C\to k</math>, koje zovemo kojedinicom koalgebre <math>(C,\Delta)</math>, i koje zadovoljava uvjet <math>(\epsilon\otimes_k id_C)\circ\Delta \cong id_C \cong (id_C\otimes_k\epsilon)\circ\Delta</math>.
	U posljednjem identitetu <math>\cong</math> označava jednakost preslikavanja do na identifikacije <math>k\otimes C\cong C\cong C\otimes_k k</math>. Mnogi autori uvode koalgebru kao trojku <math>(C,\Delta,\epsilon)</math>, no u tome nema bitne razlike, s obzirom da je kojedinica (ako postoji) jedinstveno određena komnoženjem.		U posljednjem identitetu <math>\cong</math> označava jednakost preslikavanja do na identifikacije <math>k\otimes C\cong C\cong C\otimes_k k</math>. Mnogi autori uvode koalgebru kao trojku <math>(C,\Delta,\epsilon)</math>, no u tome nema bitne razlike, s obzirom da je kojedinica (ako postoji) jedinstveno određena komnoženjem.