WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-08-27T01:02:49Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

U [[fizika|fizici]] i [[matematika|matematici]], '''tenzor''' je poopćenje [[skalar]]a i [[vektor]]a. Za dani konačnodimenzionalni [[vektorski prostor]] <math>V</math> nad poljem <math>k</math>, s dualnim prostorom <math>V^*</math> linearnih funkcionala iz <math>V</math> u <math>k</math>. tenzor tipa <math>(p,q)</math> je multilinearno preslikavanje
:<math> T: \underbrace{ V^* \times\dots\times V^*}_{p \text{ primjeraka}} \times \underbrace{ V \times\dots\times V}_{q \text{ primjeraka}} \rightarrow k.</math>

Alternativno, tenzor tipa <math>(p,q)</math> je element tenzorskog produkta <math>V^{\otimes p}\otimes (V^*)^{\otimes q} := \underbrace{ V \otimes_k\dots\otimes_k V}_{p \text{ primjeraka}} \otimes \underbrace{ V^* \otimes_k\dots\otimes_k V^*}_{q \text{ primjeraka}}</math>
odgovarajućeg broja primjeraka vektorskog prostora i njegovog duala.

Ako je zadana baza <math>e_1,\dots,e_n</math> vektorskog prostora <math>V</math>, tada kovektori <math>e^{*1},\ldots,e^{*n}\in V^*</math> čine bazu dualnog prostora, a vektori <math>e_{i_1}\otimes\dots \otimes e_{i_p}\otimes e_{j_1}\otimes\dots\otimes e_{j_q}</math> gdje <math>i_1,\ldots,i_p,j_1,\ldots,j_q\in\{1,\ldots,n\}</math> čine bazu vektorskog prostora <math>V^{\otimes p}\otimes (V^*)^{\otimes q}</math> koji je dimenzije <math>n^{p+q}</math>.
Broj <math>p+q</math> nazivamo i '''red tenzora'''. Vektori su dakle tenzori prvog reda, a skalari su tenzori nultog reda.

Kako za konačnodimenzionalne vektorske prostore vrijedi <math>V^*\otimes V\cong End_k(V,V)</math> to se tenzori tipa <math>(1,1)</math> poistovjećuju s linearnim operatorima i u zadanoj bazi opisuju kvadratnom matricom. Često se tenzor tipa <math>(p,q)</math> može odrediti kao <math>p+q</math>-dimenzionalna hiperkubna [[matrica (matematika)|matrica]] brojeva (elemenata u polju) koji se s obzirom na promjenu koordinata među vektorima ponašaju na određeni način. Te brojeve zovemo komponentama tenzora u danoj bazi. U terminima multilinearnih funkcionala, komponente tenzora <math>T</math> tipa <math>(p,q)</math> su brojevi <math>T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q} = T(e_{i_1},\ldots,e_{i_p},e^{*j_1},\ldots,e^{*j_q})</math>.

Naime kod promjene baze
<math>f_{i'} = \sum_{j = 1}^n O_{i'}^j e_j</math>
dualna baza se mijenja kontragredijentno, <math>f^{*i'} = \sum_{j=1}^n (O^{-1})^{i'}_j e^{*j}</math>,
a komponente tenzora <math>T</math> u novoj bazi su
:<math>T^{k_1',\ldots,k_p'}_{l_1',\ldots,l_q'} = \sum_{i_1,\ldots,i_p,j_1,\ldots,j_q} O^{k_1'}_{i_1}\dots O^{k_p'}_{i_1} (O^{-1})^{j_1}_{l_1'}\dots (O^{-1})^{j_q}_{l_q'} T^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}</math>.

Primjeri tenzora 2. reda u [[Fizika|fizici]] su tenzor [[Tromost|inercije]] u [[Dinamika|dinamici čvrstog tijela]], tenzor [[Polarizirana svjetlost|polarizacije]] u [[Optika|optici]], tenzor napetosti u teoriji elastičnosti, tenzor energije-impulsa u teoriji polja i Faradayev tenzor u [[Elektrodinamika|elektrodinamici]] (u relativističkom formalizmu 4-vektora).

== Vidi još ==
* [[Skalar]]
* [[Vektor]]
* [[Verzor]]

{{Mrva-fiz}}{{Mrva-mat}}

[[Kategorija:Multilinearna algebra]]

Tenzor - Povijest promjena

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica