WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-08-23T07:21:30Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

U [[matematika|matematici]], posebice [[linearna algebra|linearnoj algebri]], za dvije kvadratne [[matrica (matematika)|matrice]] ''A'' i ''B'' istog reda ''n'' kažemo da su '''slične matrice''' ako je
:''A'' = ''S''−1''BS''
za neku [[inverzna matrica|invertibilnu]] matricu ''S'' reda ''n''.

Ekvivalentno, dvije matrice ''A'' i ''B'' su slične ako su to matrice jednog istog [[linearno preslikavanje|linearnog preslikavanja]] nekog [[vektorski prostor|vektorskog prostora]] ''V'' u odnosu na dvije njegove [[baza vektorskog prostora|baze]] '''''A''''' i '''''B''''', redom. Pritom je ''A'' = ''S''−1''BS'' za [[matrica promjene baze|matricu]] ''S'' = ''S'''''''A'''''→'''''B''''' promjene koordinata pri prelasku s baze '''''A''''' na bazu '''''B'''''.

Slične matrice nisu "slične" u laičkom smislu — one mogu izgledati naizgled posve različito, kao što i to što se neke dvije matrice razlikuju možda tek u nekoliko elemenata ne govori ništa o njihovoj sličnosti.

Sličnost matrica je [[relacija ekvivalencije]]. Jedno od osnovnih pitanja kojima se bavi linearna algebra jest pronalaženje, za danu matricu ''A'', u izvjesnom smislu što "jednostavnije" matrice ''B'' slične matrici ''A''. Matrice slične nekoj [[dijagonalna matrica|dijagonalnoj matrici]] nazivaju se [[dijagonalizabilna matrica|dijagonalizabilne]] (ponegdje dijagonabilne) matrice; dokazuje se da su takve, na primjer, sve ''n'' × ''n'' matrice sa ''n'' različitih [[svojstvena vrijednost|svojstvenih vrijednosti]], ali i neke druge. S druge strane, svaka [[kompleksan broj|kompleksna]] matrica ima jedinstvenu [[Jordanova normalna forma|Jordanovu normalnu formu]], koja joj je slična; općenito, svaka matrica nad bilo kojim [[polje (algebra)|poljem]] ''F'' slična je točno jednoj matrici u Jordanovoj normalnoj formi nad [[algebarsko zatvorenje|algebarskim zatvorenjem]] ''F''~ i dvije matrice su međusobno slične ako i samo ako su njihove Jordanove forme identične (do na redoslijed blokova). Od interesa su i drugi [[kanonski oblici matrica]].

Sličnost ne ovisi o polju: ako je ''L'' polje koje sadrži neko potpolje ''K'', tada su dvije matrice ''A'' i ''B'' nad ''K'' slične kao matrice nad ''K'' ako i samo ako su slične kao matrice nad ''L''.

Posebice, kažemo da su matrice permutacijski slične ako se matrica ''S'' može izabrati tako da bude [[matrica permutacija|permutacijska]], unitarno slične ako se ''S'' može izabrati da bude [[unitarna matrica|unitarna]], itd. Prema [[spektralni teorem|spektralnom teoremu]] je svaka [[normalna matrica]] unitarno slična dijagonalnoj; posebice je svaka realna [[simetrična matrica]] ortogonalno i svaka [[hermitska matrica]] unitarno dijagonalizabilna.

Preslikavanje ''X'' → ''S''−1''XS'', [[konjugacija (teorija grupa)|konjugacija]] u smislu [[teorija grupa|teorije grupa]] u [[linearna grupa|linearnoj grupi]] GL''n'' inverzibilnih ''n'' × ''n'' matrica, se naziva preslikavanjem sličnosti i [[automorfizam]] je [[algebra nad poljem|algebre]] M''n'' svih ''n'' × ''n'' matrica. Ako je ''A'' = ''S''−1''BS'', tada je
:''f''(''A'') = ''S''−1''f''(''B'')''S''
za bilo koji [[polinom]], ili općenito bilo koju funkciju ''f'' [[analitička funkcija|analitičku]] na domeni u kompleksnoj ravnini koja sadrži sve svojstvene vrijednosti matrice ''A''. Posebno, ako je ''A'' dijagonalizabilna i ''B'' = diag( λ1, λ2, ... λ''n'' ) njoj slična dijagonalna matrica, tada su svi stupnjevi matrice ''A'' dani jednostavnom formulom
:''A''''t'' = ''S''−1 diag( λ1''t'', λ2''t'', ... λ''n''''t'' ) ''S''.
Ovaj se rezultat koristi pri rješavanju linearnog [[diskretan dinamički sustav|diskretnog dinamičkog sustava]] '''x'''( ''t'' + 1 ) = ''A'' '''x'''(''t''), čije je rješenje '''x'''(''t'') = ''A''''t'' '''x'''(0). Analogno, slične dijagonalne matrice pomažu u rješavanju sustava linearnih diferencijalnih jednadžbi, odnosno [[neprekidni dinamički sustav|neprekidnog dinamičkog sustava]]. Pomoću iste formule se [[numerička matematika|numerički]] brzo i precizno izračunava dominantna svojstvena vrijednost (svojstvena vrijednost najveće apsolutne vrijednosti).

Slične matrice imaju jednak [[rang matrice|rang]], [[defekt matrice|defekt]], [[determinanta|determinantu]], [[trag matrice|trag]], [[karakteristični polinom|karakteristični]] i [[minimalni polinom]], iste svojstvene vrijednosti s jednakim algebarskim kratnostima i dimenzijama odgovarajućih [[svojstveni prostor|svojstvenih prostora]]. Rang linearnog preslikavanja je rang bilo koje od njegovih matrica (koje su međusobno slične, te tako sve imaju isti rang) - slično se mogu definirati i karakteristični i minimalni polinom linearnog preslikavanja, itd.

[[Kategorija:Linearna algebra]]

Slična matrica - Povijest promjena

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica