WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-09-06T23:33:52Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

{{mergeto|Binarne relacije}}
U matematici, '''relacija''' je [[prazan skup|neprazan]] [[podskup]] [[Descartesov produkt|Descartesovog produkta]] [[skup]]ova.

=== Definicije ===
Relacija ρ dužine n je neprazan podskup Descartesovog produkta n skupova. Kada je n = 2 tada govorimo o [[binarna relacija|''binarnoj'' relaciji]], dakle o relaciji između elementa x sa elementom y, odnosno o [[uređeni par|uređenom paru]] (x, y) iz Descartesovog proizvoda <math>A\times B.</math> Ako je <math>(x, y)\in\rho</math> tada kažemo da je element <math>x\,</math> u relaciji sa elementom <math>y\,</math> i pišemo <math>x\rho y\,</math>.

Za binarnu relaciju <math>\rho\subset A\times B</math> moguće je definirati sljedeće izraze:
* [[Domena]], tj. područje definicije <math>\mathcal{D(\rho)}=\{x\in A|(\exists y\in B)x\rho y)\};</math>
* [[kodomena]], tj. područje vrijednosti <math>\mathcal{K(\rho)}=\{y\in B|(\exists x\in A)x\rho y\};</math>
* ''inverzna relacija'' <math>\rho ^{-1}=\{(y,x)\};\,</math>
* ''komplement'' <math>\bar \rho=(A\times B)\backslash\rho;</math>
* ''kompozicija relacija'' <math>\rho\circ\sigma :</math>
: ako je <math>\sigma \subset A\times B</math> i <math>\rho \subset B\times C,</math> tada relaciju <math>\rho\circ\sigma\subset A\times C,</math> datu sa <math>\rho\circ\sigma=\{(x,y)|(\exists z\in B)x\rho z\wedge z\rho y\}</math> nazivamo kompozicija relacija <math>\rho\,</math> i <math>\sigma\,.</math>

=== Primjeri relacija ===
# Dati su skupovi: <math>A=\{ a, b, c \},\; B=\{1, 2, 3\},\,</math> Descartesov produkt je skup uređenih parova <math>A\times B=\{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3)\},\,</math> a (jedna od) relacija je <math>\rho=\{(a,1),(a,2),(b,2),(c,2)\},\,</math> . Pišemo npr. <math>(a,2)\in \rho.\,</math> i kažemo uređen par a, 2 je element relacije ro, odnosno čitamo, a je u relaciji ro sa 2.
# Relacija ''jednakosti'' brojeva. Pišemo i <math>x\rho y\,</math> odnosno <math>x=y\,</math> i čitamo, broj h jednak je broju u.
# Relacija ''biti paralelan'', u skupu [[pravac|pravaca]]. Za dvije prave <math>a,\; b\,</math> kažemo da su [[paralelnost|paralelne]] i pišemo <math>a||b\,</math> ako je to jedan te isti pravac, ili ako su to dva pravca koji leže u istoj [[ravnina|ravnina]] i nemaju zajedničkih točaka.
# Relacija ''manje ili jednako'' u skupu realnih brojeva.

=== Osnovne osobine ===
Osnovne četiri osobine su:
* ''Refleksivnost'': <math>(\forall x) x\rho x.</math> Drugim riječima, data relacija je refleksivna ako i samo ako je svaki element u relaciji sa sobom.
* ''Simetričnost'': <math>(\forall x,y) \; x\rho y \Rightarrow y\rho x.</math> Drugim riječima, za svaki uređeni par elemenata koji je u relaciji postoji i par sa obrnutim poretkom.
* ''Antisimetričnost'': <math>(\forall x,y)\; x\rho y \land y\rho x \Rightarrow x=y.\,</math> Drugim riječima, ako u datoj relaciji imamo oba poretka jednog para elemenata, onda ih ne možemo imati na način da to mora biti samo jedan element (taj je u relaciji sam sa sobom).
* ''Tranzitivnost'': <math>(\forall x,y,z)\; x\rho y \land y\rho z \Rightarrow x\rho z.</math> Ako je prvi element u relaciji sa drugim, drugi sa trećim, onda mora biti i prvi sa trećim!

Kada neka relacija ima osobinu refleksivnosti, simetričnosti, antisimetričnosti, ili tranzitivnosti kažemo da je ta relacija refleksivna, simetrična, antisimetrična, odnosno tranzitivna.

''Relacija ekvivalencije'' je ona koja ima sve tri osobine ''RST'' zajedno (Refleksivnost, Simetričnost i Tranzitivnost). Privremeno je možemo označavati sa "~" tilda.

''Klasa ekvivalencije'' je skup međusobno ekvivalentnih elemenata: <math>C_x=\{y|y~x\}.\,</math>

''Količnički skup'' je skup klasa ekvivalencije.

''Relacija poretka'' je ona koja ima osobine ''RAT'' (Refleksivnost, Antisimetričnost, Tranzitivnost).

=== Ostale osobine ===
Iz definicija se lako mogu dobiti sljedeća svojstva relacija:
* <math>\mathcal{D}(\rho)=\mathcal{K}(\rho ^{-1}), \; \mathcal{D}(\rho ^{-1})=\mathcal{K}(\rho);</math>
* <math>\left( \rho ^{-1}\right)^{-1}=\rho;</math>
* <math>\left(\bar\rho\right)^{-1}=\overline{\rho ^{-1}};</math>
* <math>\left(\rho\circ\sigma\right)^{-1}=\sigma ^{-1}\circ\rho ^{-1};</math>
* <math>(\rho\cap\sigma)^{-1}=\rho ^{-1}\cap\sigma^{-1};</math>
* <math>(\rho\cup\sigma)^{-1}=\rho ^{-1}\cup\sigma^{-1}.</math>

Relacija <math>\rho\subset A^2</math> je ''linearna'' ili ''totalna'' ako vrijedi <math>(\forall x,y\in A)x\rho y\vee y\rho x.</math> Primijetite da su linearne relacije obavezno refleksivne.

Antisimetrična, tranzitivna i linearna relacija nekog skupa naziva se relacija ''linearnog poretka'' (ili totalnog uređaja) danog skupa.

Relacija ''preduređaja'' je refleksivna i tranzitivna. Relacija ''kvaziuređaja'' je tranzitivna relacija. Posljednja dva naziva pojavljuju se u Teoriji društvenog izbora, tj. oblasti matematičke ekonomije.

[[Kategorija:Matematika]]

Relacija - Povijest promjena

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica