WikiSysop: Zamjena teksta - '' u ''

2025-06-22T09:39:32Z

Zamjena teksta - '' u ''

←Starija inačica		Inačica od 22. lipanj 2025. u 09:39
Redak 1:		Redak 1:
	~~<!--'''Monomorfizam'''-->~~
	[[Datoteka:Monomorphism_scenarios.svg\|desno\|mini\|220x220px]]		[[Datoteka:Monomorphism_scenarios.svg\|desno\|mini\|220x220px]]
	U kontekstu [[Osnovna algebra\|apstraktne algebre]] ili univerzalne algebre, '''monomorfizam''' je [[Injektivna funkcija\|injektivni]] [[homomorfizam]] . Monomorfizam iz X u Y često se označava s notacijom {{Matematika\|''X'' ↪ ''Y''}}		U kontekstu [[Osnovna algebra\|apstraktne algebre]] ili univerzalne algebre, '''monomorfizam''' je [[Injektivna funkcija\|injektivni]] [[homomorfizam]] . Monomorfizam iz X u Y često se označava s notacijom {{Matematika\|''X'' ↪ ''Y''}}

WikiSysop: Bot: Automatska zamjena teksta (-{{cite book +{{Citiranje knjige)

2022-01-02T18:15:48Z

Bot: Automatska zamjena teksta (-{{cite book +{{Citiranje knjige)

←Starija inačica		Inačica od 2. siječanj 2022. u 18:15
Redak 65:		Redak 65:
	<br />		<br />

	* {{~~cite book~~\|title=An Invitation to General Algebra and Universal Constructions\|first=George\|last=Bergman\|url=http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/index.html\|publisher=Springer\|isbn=978-3-319-11478-1\|year=2015\|ref=harv}}		* {{Citiranje knjige\|title=An Invitation to General Algebra and Universal Constructions\|first=George\|last=Bergman\|url=http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/index.html\|publisher=Springer\|isbn=978-3-319-11478-1\|year=2015\|ref=harv}}
	* {{~~cite book~~\|title=Handbook of Categorical Algebra. Volume 1: Basic Category Theory\|first=Francis\|last=Borceux\|publisher=Cambridge University Press\|isbn=978-0521061193\|year=1994\|ref=harv}}		* {{Citiranje knjige\|title=Handbook of Categorical Algebra. Volume 1: Basic Category Theory\|first=Francis\|last=Borceux\|publisher=Cambridge University Press\|isbn=978-0521061193\|year=1994\|ref=harv}}
	* {{~~cite book~~\|title=Basic Category Theory\|first=Jaap\|last=Van Oosten\|url=http://www.math.uu.nl/people/jvoosten/syllabi/catsmoeder.pdf\|publisher=BRICS, Computer Science Department, University of Aarhus\|year=1995\|issn=1395-2048\|ref=harv}}		* {{Citiranje knjige\|title=Basic Category Theory\|first=Jaap\|last=Van Oosten\|url=http://www.math.uu.nl/people/jvoosten/syllabi/catsmoeder.pdf\|publisher=BRICS, Computer Science Department, University of Aarhus\|year=1995\|issn=1395-2048\|ref=harv}}
	* {{~~cite book~~\|title=Foundations of category theory\|publisher=Nauka\|isbn=5-02-014427-4\|last1=Tsalenko\|first1=M.S.\|last2=Shulgeifer\|first2=E.G.\|year=1974\|ref=harv}}		* {{Citiranje knjige\|title=Foundations of category theory\|publisher=Nauka\|isbn=5-02-014427-4\|last1=Tsalenko\|first1=M.S.\|last2=Shulgeifer\|first2=E.G.\|year=1974\|ref=harv}}

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-11-27T23:41:07Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

[[Datoteka:Monomorphism_scenarios.svg|desno|mini|220x220px]]
U kontekstu [[Osnovna algebra|apstraktne algebre]] ili univerzalne algebre, '''monomorfizam''' je [[Injektivna funkcija|injektivni]] [[homomorfizam]] . Monomorfizam iz X u Y često se označava s notacijom {{Matematika|''X'' ↪ ''Y''}}

U općenitijim kontekstu [[Teorija kategorija|teorije kategorija]], '''monomorfizam''' (koji se također naziva '''monički morfizam''' ili '''mono''' ) je lijevo-pokratni morfizam . Odnosno, strelica {{Matematika|''f'' : ''X'' → ''Y''}} takva da za sve objekte {{Matematika|''Z''}} i sve morfizme {{Matematika|''g''1, ''g''2: ''Z'' → ''X''}} ,

: <math>f \circ g_1 = f \circ g_2 \implies g_1 = g_2.</math>

Monomorfizmi su kategorična generalizacija [[Injektivna funkcija|injektivnih funkcija]]; u nekim se kategorijama pojmovi podudaraju, ali monomorfizmi su općenitiji, kao u donjim primjerima .

Kategorički dual monomorfizma je epimorfizam, tj. Monomorfizam u kategoriji ''C'' je epimorfizam u dualnoj kategoriji ''C'' op . Svaka je sekcija monomorfizam, a svaka retrakcija epimorfizam.

== Relacija prema invertibilnosti ==
Lijevo-invertibilni morfizmi su nužno monični: ako je ''l'' lijevi inverzni za ''f'' (znači ''l'' je morfizam i <math>l \circ f = \operatorname{id}_{X}</math> ), tada je ''f'' moničko, kao

: <math>f \circ g_1 = f \circ g_2 \Rightarrow l\circ f\circ g_1 = l\circ f\circ g_2 \Rightarrow g_1 = g_2.</math>

Lijevo invertibilni morfizam naziva se '''sekcija''' .

Međutim, monomorfizam ne mora biti lijevo-invertibilan. Na primjer, u kategoriji '''Grupa''' svih [[Grupa (matematika)|grupa]] i grupnih homomorfizama među njima, ako je ''H'' podgrupa od ''G,'' tada je inkluzija {{Nowrap|''f'' : ''H'' → ''G''}} uvijek monomorfizam; ali ''f'' ima lijevi inverz u kategoriji ako i samo ako ''H'' ima [[Komplement (teorija grupa)|normalan komplement]] u ''G.''

Morfizam {{Nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} je moničan ako i samo ako je inducirana karta {{Nowrap|''f''∗ : Hom(''Z'', ''X'') → Hom(''Z'', ''Y'')}}, definirano {{Nowrap|1=''f''∗(''h'') = ''f'' ∘ ''h''}} za sve morfizme {{Nowrap|''h'' : ''Z'' → ''X''}}, [[Injektivna funkcija|injektivan je]] za sve objekte ''Z.''

== Primjeri ==
Svaki morfizam u konkretnoj kategoriji čija je temeljna [[Funkcija (matematika)|funkcija]] injektivna je monomorfizam; drugim riječima, ako su morfizmi zapravo funkcije između skupova, tada će svaki morfizam koji je injektivna funkcija nužno biti monomorfizam u kategoričkom smislu. U kategoriji skupova vrijedi i obrnuto, tako da su monomorfizmi upravo [[Injektivna funkcija|injektivni]] morfizmi. Obrnuto vrijedi i u većini prirodno stvorenih kategorija algebri zbog postojanja slobodnog objekta na jednom generatoru. Osobito je točno u kategorijama svih skupina, svih prstenova i u bilo kojoj abelovskoj kategoriji .

Međutim, općenito nije istina da svi monomorfizmi moraju biti injektivni u drugim kategorijama; to jest, postoje konteksti u kojima su morfizmi funkcije između skupova, ali može postojati i funkcija koja nije injektivna, a ipak je monomorfizam u kategoričkom smislu. Na primjer, u kategoriji '''Div''' djeljivih [[Abelova grupa|(abelovskih) skupina]] i grupnih homomorfizama između njih postoje monomorfizmi koji nisu injektivni: razmotrite, primjerice, kvocijentnu presliku {{Nowrap|''q'' : '''Q''' → '''Q'''/'''Z'''}}, gdje je '''Q''' racionali sa zbrojem, '''Z''' cijeli brojevi (također se smatraju grupom koja se dodaje), a '''Q''' / '''Z''' je odgovarajuća kvocijentna skupina . Ovo nije injektivna karta, kao što je na primjer, svaki cijeli broj mapiran na 0. Ipak, riječ je o monomorfizmu u ovoj kategoriji. To proizlazi iz implikacije {{Nowrap|1=''q'' ∘ ''h'' = 0 ⇒ ''h'' = 0}}, što ćemo sada dokazati. Ako {{Nowrap|''h'' : ''G'' → '''Q'''}}, gdje je ''G'' neka djeljiva skupina, a {{Nowrap|1=''q'' ∘ ''h'' = 0}}, tada je {{Nowrap|''h''(''x'') ∈ '''Z''', ∀ ''x'' ∈ ''G''}} Sada popravite nešto {{Nowrap|''x'' ∈ ''G''}} Bez gubitka općenitosti, možemo pretpostaviti da je {{Nowrap|''h''(''x'') ≥ 0}} (u suprotnom odaberite umjesto - ''x'' ). Onda, ostavljajući {{Nowrap|1=''n'' = ''h''(''x'') + 1}}, jer je ''G'' djeljiva skupina, postoji neki {{Nowrap|''y'' ∈ ''G''}} takav da je {{Nowrap|1=''x'' = ''ny''}}, pa je {{Nowrap|1=''h''(''x'') = ''n'' ''h''(''y'')}} . Iz ovoga i {{Nowrap|1=0 ≤ ''h''(''x'') < ''h''(''x'') + 1 = ''n''}} proizlazi da

: <math>0 \leq \frac{h(x)}{h(x) + 1} = h(y) < 1 </math>

Budući da je {{Nowrap|''h''(''y'') ∈ '''Z'''}}, slijedi da je {{Nowrap|1=''h''(''y'') = 0}}, a time i {{Nowrap|1=''h''(''x'') = 0 = ''h''(−''x''), ∀ ''x'' ∈ ''G''}} Ovo kaže da je {{Nowrap|1=''h'' = 0}}, po želji.

Da krenemo od te implikacije na činjenicu da je ''q'' monomorfizam, pretpostavimo da je {{Nowrap|1=''q'' ∘ ''f'' = ''q'' ∘ ''g''}} za neke morfizme {{Nowrap|''f'', ''g'' : ''G'' → '''Q'''}}, gdje je ''G'' neka djeljiva skupina. Tada je {{Nowrap|1=''q'' ∘ (''f'' − ''g'') = 0}}, gdje je {{Nowrap|(''f'' − ''g'') : ''x'' ↦ ''f''(''x'') − ''g''(''x'')}} . (Budući da je {{Nowrap|1=(''f'' − ''g'')(0) = 0}}, i {{Nowrap|1=(''f'' − ''g'')(''x'' + ''y'') = (''f'' − ''g'')(''x'') + (''f'' − ''g'')(''y'')}}, slijedi da je {{Nowrap|(''f'' − ''g'') ∈ Hom(''G'', '''Q''')}} ). Iz tek dokazane implikacije, {{Nowrap|1=''q'' ∘ (''f'' − ''g'') = 0 ⇒ ''f'' − ''g'' = 0 ⇔ ∀ ''x'' ∈ ''G'', ''f''(''x'') = ''g''(''x'') ⇔ ''f'' = ''g''}} . Stoga je ''q'' monomorfizam, kao što je tvrđeno.

== Svojstva ==

* U toposu je svaki mono izjednačivač, a svaka mapa koja je i monična i epska je [[izomorfizam]] .
* Svaki izomorfizam je moničan.

== Povezani pojmovi ==
Tu su i korisni pojmovi ''redovitog monomorfizma'', ''ekstremnog monomorfizma'', ''neposrednog monomorfizma'', ''jakog monomorfizma'' i ''podijeljenog monomorfizma'' .

* Za monomorfizam se kaže da je '''regularan''' ako je izjednačivač nekog para paralelnih morfizama.
* Monomorfizam <math>\mu</math> kaže se da je '''ekstremna''' {{Sfn|Borceux|1994}} ako je u svakom predstavljanju <math>\mu=\varphi\circ\varepsilon</math>, gdje <math>\varepsilon</math> je epimorfizam, morfizam <math>\varepsilon</math> automatski je [[izomorfizam]] .
* Monomorfizam <math>\mu</math> kaže se da je '''neposredan''' ako u svakoj reprezentaciji <math>\mu=\mu'\circ\varepsilon</math>, gdje <math>\mu'</math> je monomorfizam i <math>\varepsilon</math> je epimorfizam, morfizam <math>\varepsilon</math> automatski je [[izomorfizam]] .
* [[Datoteka:Diagram-orthogonality-2.jpg|mini]] Monomorfizam <math>\mu:C\to D</math> kaže se da je '''jak''' {{Sfn|Borceux|1994}} {{Sfn|Tsalenko|Shulgeifer|1974}} ako za bilo koji epimorfizam <math>\varepsilon:A\to B</math> i bilo koji morfizam <math>\alpha:A\to C</math> i <math>\beta:B\to D</math> takav da <math>\beta\circ\varepsilon=\mu\circ\alpha</math>, postoji morfizam <math>\delta:B\to C</math> takav da <math>\delta\circ\varepsilon=\alpha</math> i <math>\mu\circ\delta=\beta</math> ,
* Monomorfizam <math>\mu</math> kaže se da se '''razdioba''' ako postoji morfizam <math>\varepsilon</math> takav da <math>\varepsilon\circ\mu=1</math> (u ovom slučaju <math>\varepsilon</math> naziva se lijevo-inverznim za <math>\mu</math> ).

== Terminologija ==
''Popratne'' pojmove ''monomorfizam'' i ''epimorfizam'' izvorno je uveo Nicolas Bourbaki ; Bourbaki koristi ''monomorfizam'' kao skraćenicu za injektivnu funkciju. Rani kategorički teoristi vjerovali su da je pravilno generaliziranje injektivnosti u kontekst kategorija prethodno poništeno svojstvo otkazivanja. Iako to nije sasvim točno za moničke karte, vrlo je blizu, tako da je to stvorilo malo problema, za razliku od slučaja epimorfizma. Saunders Mac Lane pokušao je napraviti razliku između onoga što je nazvao ''monomorfizmi'', a to su karte u konkretnoj kategoriji čije su temeljne mape skupa injektivne, i ''monične karte'', koje su monomorfizmi u kategoričkom smislu te riječi. Ova razlika nikada nije došla u opću upotrebu.

Drugi naziv za monomorfizam je ''ekstenzija'', iako je i ova druga upotreba.

== Vidi također ==

*[[Ugrađivanje|Ugradnja]]
*[[Podobjekt]]
*[[Epimorfizam]]
*[[Nodalna dekompozicija]]

== Bilješke ==
{{Izvori}}

== Reference ==
 

* {{cite book|title=An Invitation to General Algebra and Universal Constructions|first=George|last=Bergman|url=http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/index.html|publisher=Springer|isbn=978-3-319-11478-1|year=2015|ref=harv}}
* {{cite book|title=Handbook of Categorical Algebra. Volume 1: Basic Category Theory|first=Francis|last=Borceux|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0521061193|year=1994|ref=harv}}
* {{cite book|title=Basic Category Theory|first=Jaap|last=Van Oosten|url=http://www.math.uu.nl/people/jvoosten/syllabi/catsmoeder.pdf|publisher=BRICS, Computer Science Department, University of Aarhus|year=1995|issn=1395-2048|ref=harv}}
* {{cite book|title=Foundations of category theory|publisher=Nauka|isbn=5-02-014427-4|last1=Tsalenko|first1=M.S.|last2=Shulgeifer|first2=E.G.|year=1974|ref=harv}}

 

[[Kategorija:Teorija kategorija]]

←Starija inačica		Inačica od 2. siječanj 2022. u 18:15
Redak 65:		Redak 65:
	<br />		<br />

	* {{~~cite book~~\|title=An Invitation to General Algebra and Universal Constructions\|first=George\|last=Bergman\|url=http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/index.html\|publisher=Springer\|isbn=978-3-319-11478-1\|year=2015\|ref=harv}}		* {{Citiranje knjige\|title=An Invitation to General Algebra and Universal Constructions\|first=George\|last=Bergman\|url=http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/index.html\|publisher=Springer\|isbn=978-3-319-11478-1\|year=2015\|ref=harv}}
	* {{~~cite book~~\|title=Handbook of Categorical Algebra. Volume 1: Basic Category Theory\|first=Francis\|last=Borceux\|publisher=Cambridge University Press\|isbn=978-0521061193\|year=1994\|ref=harv}}		* {{Citiranje knjige\|title=Handbook of Categorical Algebra. Volume 1: Basic Category Theory\|first=Francis\|last=Borceux\|publisher=Cambridge University Press\|isbn=978-0521061193\|year=1994\|ref=harv}}
	* {{~~cite book~~\|title=Basic Category Theory\|first=Jaap\|last=Van Oosten\|url=http://www.math.uu.nl/people/jvoosten/syllabi/catsmoeder.pdf\|publisher=BRICS, Computer Science Department, University of Aarhus\|year=1995\|issn=1395-2048\|ref=harv}}		* {{Citiranje knjige\|title=Basic Category Theory\|first=Jaap\|last=Van Oosten\|url=http://www.math.uu.nl/people/jvoosten/syllabi/catsmoeder.pdf\|publisher=BRICS, Computer Science Department, University of Aarhus\|year=1995\|issn=1395-2048\|ref=harv}}
	* {{~~cite book~~\|title=Foundations of category theory\|publisher=Nauka\|isbn=5-02-014427-4\|last1=Tsalenko\|first1=M.S.\|last2=Shulgeifer\|first2=E.G.\|year=1974\|ref=harv}}		* {{Citiranje knjige\|title=Foundations of category theory\|publisher=Nauka\|isbn=5-02-014427-4\|last1=Tsalenko\|first1=M.S.\|last2=Shulgeifer\|first2=E.G.\|year=1974\|ref=harv}}

Monomorfizam - Povijest promjena

WikiSysop: Zamjena teksta - '' u ''

WikiSysop: Bot: Automatska zamjena teksta (-{{cite book +{{Citiranje knjige)

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica