WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-09-16T07:24:35Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

Pod kvadratnom nejednadžbom podrazumijevamo [[nejednadžba|nejednadžbu]] u kojoj se nepoznata veličina pojavljuje pod znakom potencije 2.

==Kvadratna nejednadžba==
===Kvadratna nejednadžba gdje je <math> b = 0 </math>===
Kvadratnu nejednadžbu gdje je ''b'' = 0 možemo prikazati, na primjer, u obliku:
:<math> ax^2 + c > 0 \, </math>
iz čega slijedi da je:
:<math> x^2 > -\frac{c}{a} \, </math>
Ako su oba člana a i c pozitivna ili negativna, tada nejednadžba neće imati rješenje u skupu realnih brojeva. Ako je točno jedan od članova negativan (odnosno pozitivan), nejednadžba će imati kao rješenje skup svih vrijednosti x iz intervala:
<math>\left\langle +\sqrt{ \frac{c}{a}}, +\infty \right\rangle </math> i
<math>\left\langle -\infty, -\sqrt{ \frac{c}{a}} \right\rangle </math>,

Primjer:

Neka je zadana nejednadžba:
:<math> 2x^2 -8 > 0 \, </math> .
Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:
:<math> 2x^2 > 8 \, </math>
:<math> x^2 > 4 \, </math>
:<math>|x| > 2 \,</math>,
gdje se skup svih vrijednosti ''x'' koje udovoljavaju početnoj nejednadžbi nalazi unutar intervala
<math>\left\langle +2, +\infty \right\rangle </math> i
<math>\left\langle -\infty, -2 \right\rangle </math>,

===Kvadratna nejednadžba gdje je c=0===
Kvadratnu nejednadžbu gdje je ''c''=0 možemo prikazati, na primjer, u obliku:
:<math> ax^2 + bx > 0 \, </math>
što se može prikazati i kao:
:<math> x(ax+b) > 0 \, </math>.
Gornji uvjet je ispunjen u dva različita slučaja:

:<math> a) \, </math><math> x > 0 \, </math> i <math> (ax+b) >0 \, </math> te
:<math> b) \, </math><math> x < 0 \, </math> i <math> (ax+b) <0 \, </math>
odakle se može zaključiti o intervalu unutar kojeg se nalazi skup svih vrijednosti x koje udovoljavaju nejednadžbi.

Primjer:

Neka je zadana nejednadžba:
:<math> x(3x+12) < 0 \, </math>.
Gornji uvjet je ispunjen u dva različita slučaja:
:<math> a) \, </math><math> x < 0 \, </math> i <math> (3x+12) >0 \, </math> i
:<math> b) \, </math><math> x > 0 \, </math> i <math> (3x+12) <0 \, </math>

gdje iz
a) slijedi da mora biti ''x''<0 i ''x''>-4, te iz
b) slijedi da mora biti ''x''>0 i'' x''<-4
Uvjet pod b) je nemoguć, a uvjet pod a) daje sve vrijednosti ''x'' za koje je nejednadžba rješiva, gdje se skup vrijednosti ''x'' nalazi unutar intervala:
:<math>\left\langle-4, 0 \right\rangle </math>.

===Kvadratna nejednadžba sa svim članovima===
Kvadratnu nejednadžbu sa svim članovima, oblika:
:<math> ax^2 + bx + c \le 0 \, </math> ili
:<math> ax^2 + bx + c \ge 0 \, </math>
najlakše je riješiti na način da se nađe rješenje odgovarajuće kvadratne jednadžbe:
:<math> ax^2 + bx + c = 0 \, </math>
da se odredi graf funkcije:
:<math> y= ax^2 + bx + c \, </math>
te da se tada iz grafa funkcije odredi za koje intervale vrijednosti ''x'' je funkcija veća od nule, jednaka nuli ili manja od nule u sukladnosti sa zadatkom.

Primjer:
[[Datoteka:Polynomialdeg2.svg|thumb|right|<center><math>f(x) = x^2 - x - 2\,\!</math><center>]]
Neka je zadana nejednadžba:
:<math> x^2 - x - 2 \le 0 \, </math>.

U cilju nalaženja svih vrijednosti ''x'' koje koje udovoljavaju nejednadžbi, nalazimo najprije rješenje jednadžbe:
:<math> x^2 - x - 2 = 0 \, </math>

gdje su rješenja:
:<math> x_1=2, x_2=-1 \, </math>.

Razmatrajući funkciju (slika desno):
:<math> y=x^2 - x - 2 \, </math>,

zaključujemo da su rješenja kvadratne jednadžbe nultočke <math>(2, 0)</math> i <math>(-1, 0)</math> grafa funkcije .
Za sve vrijednosti ''x'' za koje je i vrijednost funkcije manja ili jednaka nuli bit će ispunjen uvjet dat u nejednadžbi da je:
:<math> x^2 - x - 2 \le 0 \,</math>

Sve vrijednosti ''x'' iz intervala: <math>\left\lbrack -1, +2 \right\rbrack </math>
bit će zato skup vrijednosti rješenja zadane nejednadžbe.
Kvadratna nejednadžba samo je poseban slučaj polinomne nejednadžbe n-tog reda za n=2, gdje se takva nejednadžba općenito može riješiti ako se mogu naći ishodišta odgovarajuće polinomne funkcije.
==Literatura==
*Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006.

[[Kategorija:Jednadžbe i nejednadžbe]]

Kvadratna nejednadžba - Povijest promjena

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica