Suradnik10: Zamjena teksta - '{{(.)ommons(.*)}}' u ''

2026-03-10T05:14:28Z

Zamjena teksta - '{{(.)ommons(.*)}}' u ''

←Starija inačica		Inačica od 10. ožujak 2026. u 05:14
Redak 85:		Redak 85:

	== Vanjske poveznice ==		== Vanjske poveznice ==
	~~{{Commons\|Fractal}}~~
	* [https://web.archive.org/web/20071007132817/http://classes.yale.edu/fractals/ sistematizirana predavanja o fraktalima sa sveučilišta u Yaleu] {{eng oznaka}}		* [https://web.archive.org/web/20071007132817/http://classes.yale.edu/fractals/ sistematizirana predavanja o fraktalima sa sveučilišta u Yaleu] {{eng oznaka}}
	* [https://web.archive.org/web/20081028064943/http://eskola.hfd.hr/mini_projekt/mp7/fraktali_1.htm e-škola - jednostavno objašnjeno] {{hr}}		* [https://web.archive.org/web/20081028064943/http://eskola.hfd.hr/mini_projekt/mp7/fraktali_1.htm e-škola - jednostavno objašnjeno] {{hr}}

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-08-23T01:41:43Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

[[Datoteka:Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|desno|mini|300px|[[Mandelbrotov skup]]]]
'''Fraktali''' su [[geometrija|geometrijski]] objekti čija je [[fraktalna dimenzija]] strogo veća od [[topološka dimenzija|topološke dimenzije]]. Drugim riječima, to su objekti koji daju jednaku razinu detalja neovisno o [[razlučivost]]i koju koristimo. Dakle, fraktale je moguće uvećavati beskonačno mnogo, a da se pri svakom novom povećanju vide neki detalji koji prije povećanja nisu bili vidljivi, i da količina novih detalja uvijek bude otprilike jednaka. Oni su (barem približno) samoslični (sastoje se od umanjenih inačica samih sebe), ali isuviše nepravilni da bi se opisali jednostavnom geometrijom. Tako npr. [[dužina]] nije fraktal, iako je samoslična (sastoji se od beskonačno mnogo dužinâ, a sve su dužine [[sličnost|slične]]). Laički rečeno, oni su "načičkani" do u beskonačnost.

== Osnove ==
[[Datoteka:Kochsim.gif|desno|okvir|Samosličnost Kochove krivulje]]
[[Datoteka:Von koch 1 etape.svg|lijevo|mini|200px|[[Kochova krivulja]], prva iteracija]]
[[Datoteka:Von koch 2 etapes.svg|lijevo|mini|200px|[[Kochova krivulja]], druga iteracija]]
[[Datoteka:Koch curve.svg|lijevo|mini|200px|[[Kochova krivulja]]]]

Kao jedan od najjednostavnijih i najpoznatijih primjera navest ćemo [[Kochova krivulja|Kochovu krivulju]]. Ona se tvori tako da se [[dužina]] zamijeni [[geometrijski lik|likom]] prikazanim na prvoj slici lijevo. To se naziva prvom [[iteracija|iteracijom]] Kochove krivulje. Druga se iteracija dobije tako da se svaka od četiri dužine iz prve iteracije zamijeni istim likom. Za treću iteraciju moramo zamijeniti svaku od 16 dužina itd. Kochovu krivulju dobijemo nakon beskonačnog broja iteracija. Na donjoj slici desno vidi se svojstvo samosličnosti - svaki je dio Kochove krivulje sličan cijeloj krivulji.

Još je jedan jednostavan primjer [[trokut Sierpińskog]]. Kreće se od [[trokut]]a (nulta iteracija) koji se zamijeni trima trokutima upola manje duljine [[stranica|stranice]] (prva iteracija). Sa svakim se trokutom postupak ponovi (druga iteracija), i tako u beskonačnost.

[[Datoteka:Sierpinski triangle evolution.svg|okvir|Nulta i prve četiri iteracije [[Trokut Sierpińskog|trokuta Sierpińskog]]]]

== Fraktalna dimenzija ==
{{glavni|Fraktalna dimenzija}}
[[Datoteka:Sierpinski6.png|desno|mini|150px|[[Tepih Sierpińskog]]]]

Nakon velikog broja iteracija možemo vidjeti da duljina Kochove krivulje teži u beskonačnost kad broj iteracija teži u beskonačnost. No, cijela ta duljina je i dalje na istoj površini, samo je "zgužvana". Stupanj te "zgužvanosti" možemo vidjeti iz fraktalne dimenzije. Drugim riječima, ona nam daje uvid u to u kojoj mjeri neki fraktal zauzima ravninu (ili općenito n-dimenzionalni [[prostor]] u kojem se nalazi). Tako Kochova krivulja ima fraktalnu dimenziju približno 1,2619, a [[tepih Sierpińskog]] približno 1,8928. Iz vrijednosti, kao i iz slika, može se vidjeti da je tepih Sierpińskog "gušći", "načičkaniji" od Kochove krivulje, odnosno ispunjava veći dio ravnine.

== Podjela ==
Postoje razni načini [[klasifikacija|klasifikacije]] fraktala. Jedan je od načina svrstati ih po stupnju samosličnosti. '''Potpuno samoslični fraktali''' su oni koji sadrže kopije sebe koje su slične cijelom fraktalu. Primjeri su svi geometrijski fraktali, npr. [[trokut Sierpińskog]], [[Kochova krivulja]], [[Hilbertova krivulja]], [[Cantorov skup]] itd. Ako fraktal sadrži male kopije sebe koje nisu slične cijelom fraktalu, nego se pojavljuju u iskrivljenom obliku, govorimo o '''kvazi samosličnom fraktalu''' ([[Mandelbrotov skup|Mandelbrotov]] i [[Julijev skup]] i sl.). Moguće je i da fraktal ne sadrži kopije samog sebe, ali da neke njegove osobine (npr. [[fraktalna dimenzija]]) ostaju iste pri različitim mjerilima. U tom slučaju govorimo o '''statističkoj samosličnosti''', a tipičan je primjer [[Perlinov šum]].

Fraktale je moguće klasificirati i po načinu njihova nastanka. '''[[Sustavi iteriranih funkcija]]''' ({{en|iterated function systems}} – IFS) nastaju kopiranjem te [[homotetija|homotetijom]], [[rotacija|rotiranjem]] i/ili [[translacija|translatiranjem]] kopije te mogućim zamjenjivanjem nekog elementa kopijom. '''Fraktali definirani rekurzivnim relacijama''' određeni su [[rekurzija|rekurzivnom]] matematičkom formulom koja određuje pripada li određena [[točka (geometrija)|točka]] [[prostor]]a (npr. [[kompleksni brojevi|kompleksne ravnine]]) [[skup]]u ili ne. '''Slučajni fraktali''' nastaju crtanjem grafova nekih stohastičnih procesa, npr. [[Brownovo gibanje|Brownovog gibanja]]. Zanimljivo je da i prva i druga podjela daje isti rezultat – sustavi iteriranih funkcija daju potpuno samoslične fraktale, fraktali definirani rekurzivnim relacijama su kvazi samoslični, a slučajni su fraktali samo statistički samoslični. Zbog jednostavnosti, za te ćemo tri skupine koristiti redom nazive geometrijski, algebarski i stohastični fraktali.

*'''geometrijski fraktali'''
**na pravcu
***[[Cantorov skup]]
**u ravnini
***[[Cantorov_skup#Višedimenzionalni_Cantorovi_skupovi|Cantorova prašina]]
***[[Kochova krivulja]]
***[[trokut Sierpińskog]]
***[[tepih Sierpińskog]]
***[[beskonačno guste krivulje]]
****[[Peanova krivulja]]
****[[Hilbertova krivulja]]
****[[krivulja Sierpińskog]]
****[[zmajolika krivulja]]
***[[T-ravnalo (fraktal)|T-ravnalo]]
***[[Apolonijeva mreža]]
**u trodimenzionalnom prostoru
***analogoni nižedimenzionalnim fraktalima
****[[Cantorov_skup#Višedimenzionalni_Cantorovi_skupovi|Cantorov oblak]]
****[[Kochova_krivulja#Trodimenzionalni_analogoni|Kochova površina]]
****[[Trokut_Sierpińskog#Tetraedar_Sierpińskog|tetraedar Sierpińskog]]
****[[Mengerova spužva]]
***[[Oktaedarski fraktal]]
***[[Dodekaedarski fraktal]]
***[[Ikosaedarski fraktal]]
*'''algebarski fraktali'''
**[[Julijev skup]]
**[[Mandelbrotov skup]]
**[[Gorući brod (fraktal)|gorući brod]]
*'''stohastični fraktali'''
**[[bifurkacijski dijagram]]
**[[Lorenzov atraktor]]
**[[Brownovo gibanje]] i [[Brownovo drvo]]
**[[Perlinov šum]]

== Primjena ==
[[Datoteka:Animated fractal mountain.gif|lijevo|mini|200px|Postupak stvaranja terena pomoću fraktala]]
[[Datoteka:Fractal terrain.jpg|desno|mini|200px|Planina stvorena koristeći [[Perlinov šum]]]]
Najjednostavniji primjer primjene fraktala '''u računalnoj grafici''' jest stvaranje terena, posebice planina. Planina se tvori tako da se vodoravno položenom trokutu svaki vrh povisi ili snizi za slučajno odabranu vrijednost. Tako dobivenom trokutu spoje se polovišta stranica te se tako dobivaju četiri nova trokuta. Srednjemu od njih (omeđen trima dužinama koje spajaju polovišta stranica prvotnog trokuta) povisimo ili snizimo vrhove kao i početnom trokutu, ali koristimo dvostruko manje vrijednosti. Postupak sada ponovimo za sva četiri trokuta. Planine se mogu napraviti i na drugi način, pomoću [[Perlinov šum|Perlinovog šuma]].

[[Datoteka:Dragon trees.jpg|desno|mini|200px|Raslinje stvoreno pomoću fraktala]]
Pomoću [[Sustavi iteriranih funkcija|sustava iteriranih funkcija]] u tri dimenzije moguće je kreirati raznoliko [[raslinje]] – grmove, drveće, busene trave i sl. Ako isto napravimo u trodimenzionalnom sustavu te na kraj svake "grančice" dodamo list, rezultati mogu biti zapanjujuće slični stvarnim pojavama u prirodi.

Nadalje, fraktali se koriste i u [[Fraktalna kompresija|kompresiji podataka]]. Od manje važnih primjena tu je (naravno, vrlo ograničeno) predviđanje nekih stohastičkih procesa kao što su [[potres]]i; slaganje snopova [[optička vlakna|optičkih vlakana]], oponašanje rada [[neuronske mreže|neuronskih mreža]] za razvoj [[umjetna inteligencija|umjetne inteligencije]] itd. Za male uređaje kao što su [[mobitel]]i proizvode se [[antena|antene]] u obliku fraktala koje zbog toga mogu koristiti širok spektar [[frekvencija]] ne zauzimajući mnogo mjesta. Uzorak za [[vojska|vojnu]] kamuflažnu odjeću koristi fraktalnu strukturu koja se nigdje ne ponavlja te se stoga mnogo teže zamjećuje u prirodi, gdje ništa nije matematički pravilno. Provode se istraživanja za liječenje aritmije [[srce|srca]], gdje srce kuca u kaotičnom režimu. Vanjskom stimulacijom srca pokušava se postići prijelaz u pravilan režim. Naposlijetku, neke su fraktalne strukture izrazito lijepe te se prezentiraju kao [[likovna umjetnost|umjetnička djela]].

== Fraktali u prirodi ==
[[Datoteka:Romanesco broccoli (Brassica oleracea).jpg|lijevo|mini|200px|U ovoj brokuli se jasno vidi fraktalna struktura.]]
[[Datoteka:Crystallized honey.jpg|desno|mini|Kristalizirani med daje fraktalnu strukturu.]]
Mogućnost primjene fraktala leži u činjenici da mnogi od njih sliče prirodnim pojavama. Često se kao primjer spominje posebna vrsta [[brokula|brokule]] te [[paprat]]. [[Med]] [[kristalizacija|kristalizira]] u fraktalne oblike, a [[drvo|drveće]] je, kao i paprat, po svojoj prirodi fraktalnih svojstava (deblo se grana na grane koje se granaju na grančice...). Zapravo, na neki je način gotovo cijeli [[svijet]] sačinjen od fraktalnih oblika. [[Benoît Mandelbrot|Mandelbrot]] je koristio primjer obale mora kao fraktal – [[uvala|uvale]] sliče [[zaljev]]ima, [[rt]]ovi [[poluotok|poluotocima]]... Kad bismo se malo približili, svaka bi [[stijena]] sličila poluotoku. Veće približavanje otkriva izbočine u stijeni koje također podsjećaju na poluotoke. U tim izbočinama postoje sitne udubine koje imaju isti oblik kao i zaljevi. Takav se postupak može nastaviti sve do [[molekula|molekulskih]] [[razmjer]]a. Mnogo je dijelova [[anatomija čovjeka|ljudskog tijela]] fraktalne strukture. Očit je primjer sustav [[krvne žile|krvnih žila]], koje u principu imaju istu strukturu kao i drveće. [[DNK]] se namata dajući fraktalnu strukturu... Primjeri su nebrojeni.

== Vidi još ==
*[[Teorija kaosa]]
*[[Topološka dimenzija]]
*[[Fraktalna dimenzija]]
*[[Sustavi iteriranih funkcija]] (IFS)
*[[Lindenmayerov sustav]]
*[[Teorija centralnog mjesta]]

== Vanjske poveznice ==
{{Commons|Fractal}}
* [https://web.archive.org/web/20071007132817/http://classes.yale.edu/fractals/ sistematizirana predavanja o fraktalima sa sveučilišta u Yaleu] {{eng oznaka}}
* [https://web.archive.org/web/20081028064943/http://eskola.hfd.hr/mini_projekt/mp7/fraktali_1.htm e-škola - jednostavno objašnjeno] {{hr}}
* [http://e.math.hr/fraknum/index.html Fraktalni oblici u numeričkim aproksimacijama] {{hr}}
* [https://web.archive.org/web/20080611165709/http://www.pha.jhu.edu/~ldb/seminar/index.html Chaos and fractals] {{eng oznaka}}
* [https://web.archive.org/web/20060901072024/http://math.rice.edu/~lanius/fractals/self.html svojstva fraktala] {{eng oznaka}}

[[Kategorija:Fraktali]]

Fraktal - Povijest promjena

Suradnik10: Zamjena teksta - '{{(.)ommons(.*)}}' u ''

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica