WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-10-23T01:07:38Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

{| class="wikitable" style="margin:0 0 0 1em; text-align:right; float:right;"
|+ Prvih 15 faktorijela
|-
! ''n''
! ''n''!
|-
| 0 || 1
|-
| 1 || 1
|-
| 2 || 2
|-
| 3 || 6
|-
| 4 || 24
|-
| 5 || 120
|-
| 6 || 720
|-
| 7 || 5 040
|-
| 8 || 40 320
|-
| 9 || 362 880
|-
| 10 || 3 628 800
|-
| 11 || 39 916 800
|-
| 12 || 479 001 600
|-
| 13 || 6 227 020 800
|-
| 14 || 87 178 291 200
|-
| 15 || 1 307 674 368 000
|}

U [[matematika|matematici]], '''faktorijel''' ili '''faktorijela''' [[prirodni broj|prirodnog broja]] ''n'' je umnožak svih prirodnih brojeva manjih ili jednakih ''n''.

Faktorijeli se koriste u [[kombinatorika|kombinatorici]], [[algebra|algebri]] te [[Matematička analiza|matematičkoj analizi]].

Notaciju ''n''! uveo je Christian Kramp 1808.

== Definicija ==

Definicija faktorijela za prirodne brojeve:

:<math> n! = 1 \cdot 2 \cdot\ldots \cdot n = \prod_{i=1}^n i</math>
Dodatno je definirano:
:<math> 0! = 1</math>.

== Primjeri ==

:
:<math> 1! = 1</math>
:<math> 2! = 1\cdot2 = 2</math>
:<math> 5! = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5 = 120</math>
:<math> 80! = 1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot79\cdot80 \approx 7.1569457 \cdot 10^{118}</math>
:

== Osnovna svojstva ==

Za faktorijele vrijedi rekurzivna relacija:

:<math>n! = n \cdot (n - 1)! \qquad ,n \geq 1</math>.

Faktorijeli brojeva većih od 1 su uvijek parni brojevi jer svaki broj pomnožen brojem 2, tj. bilo kojim parnim brojem, je paran broj.

== Približno računanje faktorijela ==
Faktorijel relativno brzo raste što može predstavljati praktično ograničenje kod njegovog računanja. Na primjer, faktorijel broja 70 prelazi sto znamenki. Stoga je korisno za velike ''n'' koristiti takozvanu ''Stirlingovu formulu'' za približno izračunavanje faktorijela:

: <math>n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n</math>
:
== Viši faktorijeli ==

Viši faktorijeli se označavaju ponavljanjem znaka '!', gdje broj ponavljanja označava redni broj višeg faktorijela.

:<math>n!...! = n \cdot (n - m)!...!</math> gdje je m redni broj višeg faktorijela.
:<math>z!...! = 1</math> <math> z <= 1</math>
:
== Dvostruki faktorijel n!! ==
Izraz <math> n!! </math> označava dvostruki faktorijel i odnosi se na faktorijel [[paran broj|parnih]] i [[neparan broj|neparnih brojeva]].

Definiraju se na ovaj način:

:<math>
n!!=
\left\{
\begin{matrix}
1,\qquad\quad\ &&\mbox{za }n=0\mbox{ ili }n=1;
\\
n(n-2)!!&&\mbox{za }n\ge2.\qquad\qquad
\end{matrix}
\right.
</math>

Primjerice:

* <math>6!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 = 48</math>
ili pak
* <math>7!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105</math>.

==Primorijel==
Ako imamo prirodni broj <math>n > 2</math> tada je <math>n\#</math> umnožak [[prosti broj|prostih brojeva]] koji ne premašuju <math>n</math>. Izraz <math>n\#</math> znači ''n'' primorijela.

Preciznije,

:<math>n\# =
\begin{cases}
1 & \text{ako} \ \text{je} \ n = 0,\ 1 \\
(n-1)\# \times n & \text{ako} \ \text{je} \ n \ \text{prost} \\
(n-1)\# & \text{ako} \ n \ \text{nije} \ \text{prost}.
\end{cases}</math>

Primijetimo da ćemo se, ako je <math>n</math> složen, pri računanju ''spuštati'' dok ne dođemo do prvog prostog broja. Zatim ćemo taj prosti broj zapisati u umnošku i opet se dalje spuštati do prvog manjeg prostog broja, pa zatim množimo onaj veći prosti broj s idućim manjim, i opet se spuštamo, itd. Time ćemo u konačnici zaista dobiti umnožak prostih brojeva manjih od <math>n</math>.

Evo kako bi tekao račun za <math> 9\# </math>.

Dakle, <math>9\# = 8\# = 7\# </math> i sada računamo <math>7 \cdot 6\# = 7 \cdot 5\# = 7 \cdot 5 \cdot 4\# </math> i tako dalje sve do <math> 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\#</math>. Kako je po definiciji <math>1\# = 1</math> slijedi <math>9\# = 105</math>.

== Vidi još ==

* [[Binomni koeficijent]]

[[Kategorija:Matematika]]

Faktorijel - Povijest promjena

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica