WikiSysop: bnz

2022-05-07T07:35:05Z

bnz

←Starija inačica		Inačica od 7. svibanj 2022. u 07:35
Redak 1:		Redak 1:
	~~<!--'''Cantorov skup'''-->~~'''Cantorov skup''' je [[skup]] odvojenih [[Točka (geometrija)\|točaka]] [[dužina\|dužine]] koji se dobije konstantnim izbacivanjem srednje trećine svih preostalih segmenata. To je [[fraktal]] [[topološka dimenzija\|topološke dimenzije]] 0 (nula). Predstavio ga je [[njemačka\|njemački]] [[matematičar]] [[Georg Cantor]] [[1883.]] godine.		'''Cantorov skup''' je [[skup]] odvojenih [[Točka (geometrija)\|točaka]] [[dužina\|dužine]] koji se dobije konstantnim izbacivanjem srednje trećine svih preostalih segmenata. To je [[fraktal]] [[topološka dimenzija\|topološke dimenzije]] 0 (nula). Predstavio ga je [[njemačka\|njemački]] [[matematičar]] [[Georg Cantor]] [[1883.]] godine.

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-08-23T01:48:23Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

'''Cantorov skup''' je [[skup]] odvojenih [[Točka (geometrija)|točaka]] [[dužina|dužine]] koji se dobije konstantnim izbacivanjem srednje trećine svih preostalih segmenata. To je [[fraktal]] [[topološka dimenzija|topološke dimenzije]] 0 (nula). Predstavio ga je [[njemačka|njemački]] [[matematičar]] [[Georg Cantor]] [[1883.]] godine.

== Konstrukcija ==

Uzmimo segment pravca u [[interval (matematika)|intervalu]] [0,1] te izuzmimo srednju trećinu bez krajnjih točaka (dakle, interval <1/3,2/3>). Sa svakim od preostala dva segmenta učinimo isto i nastavimo postupak s ostatkom. Točke koje ostanu nakon beskonačnog broja [[iteracija]] čine Cantorov skup. Zanimljivo je da je Cantorov skup ono što ostane od prvobitne crte [[Kochova krivulja|Kochove krivulje]].
[[Datoteka:Cantor set in seven iterations.svg|lijevo|okvir|prvih šest iteracija Cantorovog skupa (zajedno s nultom)]]

== Sadržaj Cantorovog skupa ==
Cantorov je skup sve što ostane nakon oduzimanja srednjih trećina, pa zbroj duljina svih segmenata možemo dobiti tako da zbrojimo duljine svih izuzetih segmenata i oduzmemo ga od duljine početne dužine. U prvoj smo iteraciji oduzeli 1/3 ukupne duljine, u drugoj još 2/9 itd. Zbroj tog geometrijskog niza je:
:<math> \frac{2^{n-1}}{3^n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \frac{8}{81} + \cdots = \frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{2}{3}} = 1</math>.

Drugim riječima, izgleda da smo sve izbacili. Isti smo rezultat mogli dobiti i drugačije, zbrojimo li sve što smo ostavili:
:<math>\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdots = \left ( \frac{2}{3} \right )^{\infty} {\to} 0</math>.

No, zaključiti da je Cantorov skup prazan nije ispravno. Dokaz tome je činjenica da smo uvijek ostavili krajnje točke skupa koji smo izbacivali. Dakle, ono što je ostalo su odvojene točke.

== Višedimenzionalni Cantorovi skupovi ==
[[Datoteka:Cantor dust.svg|mini|lijevo|Cantorova prašina]]
[[Datoteka:Cantors cube.jpg|mini|Cantorov oblak]]
Višedimenzionalni [[analogoni]] Cantorovom skupu obično se nazivaju '''Cantorova prašina'''. Postupak za dvodimenzionalni analogon je sličan: jedinični se [[kvadrat]] podijeli na 9 jednakih kvadrata od kojih se izbaci pet kvadrata koji ne sadrže [[vrh]] početnog kvadrata (izbace se kvadrati u obliku znaka +). Postupak se ponovi s ostala četiri kvadrata i tako beskonačno puta.

Trodimenzionalni se analogon naziva i Cantorov oblak. Kreće se od [[kocka|kocke]] koja se podijeli na 27 jednakih kocaka. Izostavi se 19 od njih koje ne sadrže vrhove kocke, odnosno ostavi se 8 kocaka koje sadrže dijelove triju stranica početne kocke. Postupak se ponovi s preostalim kockama.

== Vidi još ==
*[[Fraktali]]

[[Kategorija:Fraktali]]

Cantorov skup - Povijest promjena

WikiSysop: bnz

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica