WikiSysop: bnz

2022-05-01T13:12:41Z

bnz

←Starija inačica		Inačica od 1. svibanj 2022. u 13:12
Redak 1:		Redak 1:
	~~<!--'''Bézierova krivulja'''-->~~[[Datoteka:Bezier curve.svg\|mini\|desno\|300px\|Kubična Bézierova krivulja]]		[[Datoteka:Bezier curve.svg\|mini\|desno\|300px\|Kubična Bézierova krivulja]]
	'''Bézierova krivulja''' je parametrična krivulja važna u području [[matematika\|matematičke]] numeričke analize osobito se primjenjuje u računalnoj grafici i srodnim djelatnostima.		'''Bézierova krivulja''' je parametrična krivulja važna u području [[matematika\|matematičke]] numeričke analize osobito se primjenjuje u računalnoj grafici i srodnim djelatnostima.

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica

2021-09-02T02:59:13Z

Bot: Automatski unos stranica

Nova stranica

[[Datoteka:Bezier curve.svg|mini|desno|300px|Kubična Bézierova krivulja]]
'''Bézierova krivulja''' je parametrična krivulja važna u području [[matematika|matematičke]] numeričke analize osobito se primjenjuje u računalnoj grafici i srodnim djelatnostima.

Bézierove krivulje u višim dimenzijama su Bézierove površine. Unutar njih je pak Bézierov trokut primjer za sebe.

Unutar računalne grafike, a posebno u [[vektor|vektorskoj grafici]], Bézierove krivulje su važan alat, kojim se služi većina računalnih programa pri oblikovanju jasnih glatkih krivulja, koje se mogu beskonačno skalirati. Svi programi za crtanje i uređivanje slika poput; [[Adobe Illustrator|Adobe Illustratora]], [[Adobe Photoshop|Adobe Photoshopa]], [[CorelDraw|CorelDrawa]] služe se "Putanjama" ( engleski: "Paths"), a one su kombinacija Bézierovih krivulja.
Bézierove krivulje su široko rasprostanjene i u programima za animaciju poput; [[Adobe|Adobe Flasha]], [[Adobe |Adobe After Effectsa]], i 3d maxa.

== Povijest ==

Bézierove krivulje je učinio svjetski poznatima, [[Francuz|francuski]] [[inženjer]] [[Pierre Bézier|Pierre Etienne Bézier]], koji je [[1962.]] godine za potrebe tvrtke Renault, razvio metodu opisa krivulja, za računalno oblikovanje [[automobil]]a. Ove krivulje je otkrio [[1959.]] [[Paul de Casteljau]] uz pomoć de Casteljauvovog algoritma, numerički stabilnom metodom za izračunavanje Bézierovih krivulja.

==Analiza primjera==

===Linearne Bézierove krivulje===

Bezierova krivulja 1 stupnja:

Ako su nam dane dvije nadzorne točke '''P'''0 i '''P'''1, Linearna Bezierova krivulja je jednostavna [[ravna crta]] između te dvije točke.

Krivulja nam je dana pomoću:<math>\mathbf{B}(t)=\mathbf{P}_0 + t(\mathbf{P}_1-\mathbf{P}_0)=(1-t)\mathbf{P}_0 + t\mathbf{P}_1 \mbox{ , } t \in [0,1]</math>
i jednaka je linearnoj interpolaciji.

{| style="text-align:center; float:center; font-size:95%;" valign=top
|-
|style="border-bottom: 1px solid green;"|[[Datoteka:Bézier 1 big.gif|240px|Animation of a linear Bézier curve, ''t'' in [0,1]]]
|-
|Animacija linearne Bézierove krivulje
|}

===Kvadratne Bézierove krivulje===

Bézierova krivulja 2 stupnja:

Kvadratna Bézierova krivulja je putanja praćena funkcijom '''B'''(''t''), nadzorne točke su nam '''P'''0, '''P'''1, i '''P'''2,
: <math>\mathbf{B}(t) = (1 - t)^{2}\mathbf{P}_0 + 2t(1 - t)\mathbf{P}_1 + t^{2}\mathbf{P}_2 \mbox{ , } t \in [0,1].</math>

Kvadratna Bézierova krivulja je i dio parabole.

[[TrueType]] fontovi upotrebljavaju [[Bézierov krivuljar]] koji je sastavljen od kvadratnih Bézierovih krivulja.

<center>
{| style="text-align:center; float:none; clear:both; font-size:95%;" valign=top
|-
|style="border-bottom: 1px solid blue;"|[[Datoteka:Bézier 2 big.png|240px|Construction of a quadratic Bézier curve]]||
|style="border-bottom: 1px solid silver;"|[[Datoteka:Bézier 2 big.gif|240px|Animation of a quadratic Bézier curve, ''t'' in [0,1]]]
|-
|Konstrukcija Kvadratne Bézierove krivulje||
|Animacija Kvadratne Bézierove krivulje
|}</center>

===Kubične Bézierove krivulje===

Bézierova krivulja 3 stupnja:

Četiri nadzorne točke '''P'''0, '''P'''1, '''P'''2 i '''P'''3 u ravnini ili trodimenzionalnom prostoru definiraju kubičnu Bézierovu krivulju.

Krivulja počinje iz točke '''P'''0 ide prema točki '''P'''1 i dospijeva do '''P'''3 iz smjera '''P'''2. Obično, ne prolazi kroz točke '''P'''1 i '''P'''2; ove točke su jedino za određivanje pravca. Udaljenost između '''P'''0 i '''P'''1 određuje »koliko dugo« ide krivulja prema točki '''P'''2 prije nego skrene prema točki '''P'''3.

Parametrički oblik oblik krivulje je:<math>\mathbf{B}(t)=(1-t)^3\mathbf{P}_0+3t(1-t)^2\mathbf{P}_1+3t^2(1-t)\mathbf{P}_2+t^3\mathbf{P}_3 \mbox{ , } t \in [0,1].</math>

Suvremeni računalni grafički sustavi i jezici poput [[PostScript]]-a, ''Asymptote'' (vektorski grafički jezik) i [[Metafont]]-a primjenjuju [[Bézierov krivuljar]] sastavljen od kubičnih Bézierovih krivulja za iscrtavanje zakrivljenih oblika.

<center>
{| style="text-align:center; float:none; clear:both; font-size:95%;" valign=top
|-
|style="border-bottom: 1px solid blue;"|[[Datoteka:Bézier 3 big.png|240px|Construction of a cubic Bézier curve]]||
|style="border-bottom: 1px solid silver;"|[[Datoteka:Bézier 3 big.gif|240px|Animation of a cubic Bézier curve, ''t'' in [0,1]]]
|-
|Konstrukcija Kubične Bézierove krivulje||
|Animacija Kubične Bézierove krivulje
|}</center>

== Racionalne Bézierove krivulje ==

Neke krivulje, koje izgledaju jednostavne, kao što je [[kružnica]],ne možemo opisati s Bézierovom krivuljom ili pak dijelom Bézierove krivulje. U praksi je ta razlika toliko mala da je dopuštamo.
Za opis takvih i drugih krivulja trebamo dodatne [[slobodna mjera|slobodne mjere]].

Racionalna Bézierova krivulja ima težišta koja moramo prilagoditi. Brojač je ponderiran Bernsteinov oblik Bézierove krivulje, [[nazivnik]] je uteženi [[zbroj]]
[[Bernsteinov polinom|Bernesteinovih polinoma]].

Ako imamo ''n''+1 nadzorne točke'''P'''''i'', tada racionalnu Bézierovu krivulju možemo opisati sa:
: <math>\mathbf{B}(t) =\frac{\sum_{i=0}^n b_{i,n}(t) \mathbf{P}_{i}w_i} {\sum_{i=0}^nb_{i,n}(t) w_i} \; ,
</math>
ili jednostavno:
: <math>\mathbf{B}(t) =\frac{\sum_{i=0}^n {n \choose i} t^i(1-t)^{n-i}\mathbf{P}_{i}w_i} {\sum_{i=0}^n {n \choose i} t^i(1-t)^{n-i}w_i}.
</math>

== Definicija ==

== Vanjske poveznice ==

* [http://www.sunsite.ubc.ca/LivingMathematics/V001N01/UBCExamples/Bézier/Bézier.html Živi matematički Bézierovi appleti]
* [http://www.ibiblio.org/e-notes/Splines/Bézier.htm Živi primjeri matematičkih Bézierovih appleta za različite tipove krivuljara(splinove), JAVA programiranje krivuljara(splinove)]
* [http://ibiblio.org/e-notes/Splines/Intro.htm Interaktivni uvod u krivuljare(splinove)]
* [http://www.tinaja.com/cubic01.asp Don Lancaster's Cubic Spline Library] opisuje kako aproksimirati kružnicu (ili kružni luk, ili hiperbolu) pomoću Bézierove krivulje.

[[Kategorija:Krivulje]]
[[Kategorija:Računalna grafika]]
[[Kategorija:Dizajn]]

Bézierova krivulja - Povijest promjena

WikiSysop: bnz

WikiSysop: Bot: Automatski unos stranica